Resumen Espacios Vectoriales

CAPÍTULO 1: ESPACIOS VECTORIALES

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PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS.
Sea S conjunto no vacío y sea * una operación binaria en S (es decir, si a y b son dos
elementos en S, entonces a * b es también un elemento de S).
1. Asociatividad.- La operación * en S se dice asociativa si dados cualesquiera a, b, c
de S se verifica: a * ( b * c) = ( a * b ) * c.
2. Conmutatividad.- La operación* en S se dice conmutativa si dados dos elementos
cualesquiera a, b de S se verifica: a * b = b * a.
3. Elemento neutro.- Se dice que el elemento e∈S es el neutro de S con respecto a la
operación * si para cualquier elemento a∈S se verifican: a * e =a, e * a = a.
4. Elemento simétrico.- Sea e el neutro de S con respecto a la operación *. Si dado el
elemento a de S podemos encontrar un elemento bde S tal que a * b = e, b * a = e,
entonces b es el simétrico de a y suele denotarse a’ con lo cual a * a’ = a’ * a = e.
5. Distributividad.- Sea S conjunto no vacío donde se han definido las operaciones
binarias * y ο . La operación * se dice distributiva con respecto a la operación ο si
dados a, b, c en S se verifican:
a * ( b ο c ) = ( a * b ) ο ( a * c)
( a ο b ) * c = ( a * c ) ο ( b * c)MONOIDES Y GRUPOS.
Definición.- Se denomina monoide a todo conjunto S dotado de una operación binaria
*. Se denomina semigrupo a un monoide ( S, * ) en el cual la operación * es asociativa.
Definición.- Sea (S, * ) semigrupo. Si S tiene un elemento neutro e y además todos los
elementos de S tienen su simétrico en S, entonces (S, * ) recibe el nombre de grupo. Si
en forma adicional la operación *es conmutativa, (S, *) se llama grupo abeliano.
Ejemplo.- El par (Z, +) es un grupo abeliano ya que la suma es asociativa y
conmutativa, el neutro es el cero y el simétrico de cualquier entero t es – t. De igual
forma los pares ( Q, + ) y (R, +) también son grupos abelianos.
Ejercicio.- Explique por qué ( Q, ⋅ ) y (R, ⋅) no son grupos
Ejercicio.- En el conjunto A = { a, b, c } proporcionar pormedio de una tabla, una
operación binaria * de forma que el par (A, *) sea grupo abeliano.

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ANILLOS Y CUERPOS.
Definición.- Sea A un conjunto no vacío dotado de las leyes de composición interna
(operaciones binarias) * y ο . La terna ( A , * , ο) recibe el nombre de anillo si:
a) ( A, * ) es un grupo abeliano
b) ( A, ο ) es un semigrupo
c) La operación ο es distributiva con respecto a laoperación * .
Ejemplo.- Son anillos los conjuntos Z, Q y R con las operaciones usuales de suma y
producto de números. En concreto, demostremos que ( R, +, ⋅ ) es un anillo. Es claro
que para cualesquiera a, b, c de R se verifican:
i)
a+(b+c)=(a+b)+c
ii)
a+b=b+a
iii)
0 ∈ R; a + 0 = 0 + a = a
iv)
Si a ∈ R, existe –a ∈ R tal que a + ( – a ) = 0
En consecuencia (R, + ) es grupo abeliano. Además:
v)
(a ⋅ b )⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c)
por lo cual ( R, ⋅ ) es un semigrupo. Finalmente se verifican las leyes distributivas del
producto con respecto a la suma:
vi)
a⋅(b+c)= a⋅b + a⋅c
vii)
(a+b)⋅c= a⋅c + b⋅
Definición.- Un anillo ( A , + , ⋅ ) cuyos elementos no nulos forman un grupo
multiplicativo se llama cuerpo. Todo cuerpo tiene un elemento unidad y todo elemento
no nulo del cuerpo posee un inverso ó simétricomultiplicativo. Si la multiplicación es
conmutativa, el cuerpo se dice conmutativo. Cabe aclarar que “elemento no nulo”
equivale a un elemento distinto del neutro aditivo.
Ejemplos.- Los anillos Q y R son cuerpos conmutativos. Ya vimos que ( R, +, ⋅ ) es un
anillo. Adicionalmente si simbolizamos R* = R – { 0 } al conjunto de todos los reales
no nulos, vemos que el par ( R* , ⋅ ) es un grupo. Lamultiplicación es conmutativa.
Por tanto ( R, + , ⋅) es un cuerpo, el cuerpo de los números reales.
Propiedades del cuerpo de los números reales.- Se simbolizan con a, b, c cualesquiera
números reales; 0 es el neutro aditivo, 1 es el neutro multiplicativo y en algunos casos
en vez de escribir a ⋅ b se pondrá ab.
C1. a+b ∈ R; ab ∈ R
[clausura]
C2. ( a + b ) + c = a + ( b + c) ; (ab)c = a(bc)...