resumen oficial de numeros Reales (Calculo I)

Universidad Alberto Hurtado
Ingeniería Comercial
Resumen Ocial
Profesor: Marcelo Leseigneur
Auxiliares: Renzo Lüttges y Javier Orrego
Versión: 2.1

1. Estructura Algebraica de R Sean + : R × R −→ R y · : R × R −→ R las operaciones binarias usuales de
Adición y Multiplicación denidas sobre R. El conjunto R con las operaciones de suma y producto tiene
estructura de cuerpo, denida porlos siguientes axiomas:

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Axioma 1: Propiedad Conmutativa de la Adición:
∀a, b ∈ R, a + b = b + a

Axioma 2: Propiedad Asociativa de la Adición:

∀a, b, c ∈ R, (a + b) + c = a + (b + c)

Axioma 3: Existencia de Neutro de la Adición:
∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R

Axioma 4: Existencia del Opuesto:

∀a ∈ R∃(−a) ∈ R tal que a + (−a) = 0, ∀a ∈R

Axioma 5: Propiedad Conmutativa de la Multiplicación:

∀a, b ∈ R, a · b = b · a

Axioma 6: Propiedad Asociativa de la Multiplicación:
∀a, b, c ∈ R, (a · b) · c = a · (b · c)

Axioma 7: Existencia de Neutro de la Multiplicación:

∃1 ∈ R, (1 = 0), tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R

Axioma 8: Existencia del Inverso:

∀a ∈ R, a = 0, ∃a−1 ∈ R tal que a · (a−1 ) = 1, ∀a ∈ R

Axioma 9:Propiedad Distributiva del Producto sobre la Suma:

∀a, b, c ∈ R, se tiene que a · (b + c) = a · b + a · c y (b + c) · a = b · a + c · a

2. Teorema 1
Si a es un numero real cualquiera, entonces:
(a) a · 0 = 0
1

(b) (−1) · a = (−a)
(c) −(−a) = a
(d) (−1) · (−1) = 1
3. Teorema 2 Reglas de Cancelación en R
Sean a, b, c ∈ R, entonces:

(a) Si a + b = a + c, entonces b = c
(b) Si a = 0 ya · b = a · c, entonces b = c
4. Teorema 3
Para cualesquiera a, b ∈ R, a(−b) = −(ab) = (−a)b

5. Teorema 4
(a) (Unicidad del Opuesto e Inverso en R)
• Si a, b ∈ R son tales que a + b = 0, entonces b = −a
• Si a, b ∈ R, con a = 0 son tales que ab = 1, entonces b = a−1

(b) (Unicidad de la Solución de una ecuación lineal en R)
Sean a, b ∈ R
• La ecuación a + x = b tiene una única soluciónen R, x = b − a
• Si a = 0, la ecuación ax = b tiene una única solución en R, x = b · a−1

6. Deniciones
(a) (Sustracción)
Se dene la operación de sustracción por:
a − b = a + (−b), ∀a, b ∈ R
(b) (División)
Se dene la operación de división por:
a/b = a · b−1 , ∀a, b ∈ R, b = 0

2

(c) (Potencias de Exponente natural) Se podrá omitir el signo de multiplicación, y se podrá denotarcon un
superíndice la cantidad de multiplicaciones sucesivas de una misma expresión. Esto es:
a0 = 1 por convención.
a1 = a por convención.
a2 = aa = a · a
an+1 = (an )a ∀n ∈ N, n > 1

Se puede demostrar con esta denición que am+n = an · am
Además para a = 0 se denotará a−1 por (1/a), lo cual se extiende a a−n = (1/a)n

7. Axiomas de Orden
Existe un subconjunto no vacío de R, denotadoR+ y denominado conjunto de los reales positivos, que cumple
las siguientes propiedades:
•

Axioma 10

•

Axioma 11 (Propiedad de Tricotomía)

∀a, b ∈ R+ , a + b ∈ R+ y ab ∈ R+ .

Si a ∈ R se cumple una y solo una de las siguientes:
(a) a = 0
(b) a ∈ R+
(c) (−a) ∈ R+

8. Relaciones de Orden
• La relación en R, "Menor que" está denida por:
∀a, b ∈ R, a < b ⇔ (b − a) ∈ R+
• Larelación en R, "Menor o igual que" está denida por:
∀a, b ∈ R, a ≤ b ⇔ (b − a) ∈ R+ ∪ {0}
• La relación en R, "Mayor que" está denida por:
∀a, b ∈ R, a > b ⇔ b < a
• La relación en R, "Mayor o igual que" está denida por:
∀a, b ∈ R, a ≥ b ⇔ b ≤ a

9. Teorema 5
Dados tres numeros reales cualesquiera a, b y c, se cumplen las siguientes propiedades:
• (Propiedad transitiva):
Si a > b y b >c, entonces a > c.

3

• (Propiedad de Tricotomía o de Ordenación total)

Una sola de las siguientes es verdadera:
a > b, a = b, a < b

• (Propiedad antisimétrica):
Si a ≥ b y b ≥ a, entonces a = b

10. Denición:

R− = {x ∈ R/(−x) ∈ R+ }

11. Teorema 6:
Se verican los hechos siguientes:
• Si a ∈ R y a = 0, entonces a2 > 0
• 1>0
• Si n ∈ N, entonces n > 0

12. Teorema 7:...