Riesgo transformada laplace

APLICACIONES DE LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE A LA TEORÍA DEL RIESGO* Maite MármolA, M.Mercè ClaramuntB y Anna CastañerC Profesoras del Departament de Matemàtica Econòmica, Financera i Actuarial. Universitat de Barcelona.

RESUMEN En este trabajo se presenta una aproximación de las aplicaciones de las transformadas de Laplace para la resolución de problemas relacionados con la solvencia y lateoría del riesgo. Asumiendo el proceso clásico de las reservas recogemos la obtención de la probabilidad de supervivencia. Nos centramos en los siguientes apartados en la probabilidad de que las reservas alcancen un determinado nivel b , y finalmente trabajamos con el modelo modificado con una barrera de dividendos constantes, planteando el cálculo de la esperanza del valor actual de los dividendos.PALABRAS CLAVE: transformadas de Laplace, probabilidad de supervivencia, barrera constante, esperanza del valor actual de los dividendos.

Avda. Diagonal, 690. 08034 Barcelona. Tel: 93.403.57.44 Fax: 93.4037272. mmarmol@ub.edu. Avda. Diagonal, 696. 08034 Barcelona. Tel: 93.403.57.44 Fax: 93.4037272. mmclaramunt@ub.edu. C Avda. Diagonal, 690. 08034 Barcelona. Tel: 93.402.19.51 Fax: 93.4034892.acastaner@ub.edu. *Trabajo financiado parcialmente por el Ministerio de Educación y Ciencia y FEDER 2006. MTM200609920.
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1. INTRODUCCIÓN En la literatura actuarial encontramos mucha bibliografía que plantea la resolución de problemas relacionados con la solvencia y la teoría del riesgo con el uso de transformadasde Laplace. En este trabajo presentamos una aproximación de las aplicaciones de las transformadas en el planteamiento de diferentes cuestiones. El segundo apartado del trabajo es un breve recordatorio de los conceptos básicos de la Teoría del Riesgo. La bibliografía respecto a este tema es muy amplia, y algunos de los manuales básicos están referenciados a lo largo de esta introducción. Acontinuación planteamos la aplicación de las Transformadas de Laplace para solucionar problemas planteados en la Teoría del Riesgo. En el tercero apartado, asumiendo el proceso clásico de las reservas, es decir, asumiendo que el número de siniestros sigue una distribución de Poisson (y por tanto que el tiempo transcurrido entre dos siniestros consecutivos sigue una distribución exponencial) recogemos laobtención de la probabilidad de supervivencia, δ(u) para unas reservas iniciales R(0)=u . En el apartado 4 nos centramos en la probabilidad de que las reservas alcancen un determinado nivel b , sabiendo que el nivel inicial de las reservas es R(0)=u El cálculo de esta probabilidad, representada por χ(u,b) , está resuelto asumiendo que el tiempo de interocurrencia entre siniestros sigue unadistribución exponencial. A su vez asumimos que la cuantía individual de un siniestro se puede distribuir según una exponencial o bien según una distribución Erlang. Finalmente, trabajamos con el modelo modificado con una barrera de dividendos constantes, b(t)=b de tal forma que siempre que las reservas alcancen la barrera, los ingresos por primas se pagan en forma de dividendos hasta la ocurrencia delsiguiente siniestro. En este modelo planteamos el cálculo de la esperanza del valor actual de los dividendos, W(u,b) pero interocurrencia exponencial, asumiendo

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que la cuantía individual de los siniestros se distribuye según una exponencial y una Erlang (2,β) .

2. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DEL RIESGO En Gerber (1979) se define laTeoría del Riesgo como el conjunto de ideas para diseñar, dirigir y regular una empresa de riesgos. Según Panjer (1986) el objeto de estudio de la Teoría del Riesgo son las fluctuaciones aleatorias en los resultados financieros del asegurador u otras empresas de riesgo. Esas fluctuaciones tienen diversos orígenes, centrándose la Teoría del Riesgo básicamente en la modelización de la cuantía total de...