SALUD

Definicion de Series
En matematicas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, i=1,2,3....
Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si no existe o si tiende ainfinito; puede converger si para algún.
4.1.1 Serie Finita
Una serie numerica es un conjunto especial de números que se forma ordenadamente siguiendo determinada ley o condición, así por ejemplo.
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14
2, 4, 8, 16, 32, 64,....
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5
3, 6, 10, 12, 14, 20
Cuando la sucesión tiene un último término se dice que la sucesión es finita



4.2 Series Numericas yConvergencias
Carácter de una serie.
Convergente: Cuando la suma es un número real.
Divergente: Cuando la suma da + o - infinito.
Oscilante: Cuando no es ninguna de las anteriores.
Suma de una serie geométrica. Sn = a + ar1 + ar2 + ar3 +.....+ arn-1 + arn + arn+1

|R| < 1 Serie convergente
R £ -1 Serie oscilante
R ³ 1 Serie divergente
Propiedades generales de las series numéricaså an = S entonces å K an = K S Solo si k es nº real distinto de 0
Si å an es divergente no podemos saber nada.
Al suprimir añadir o modificar un número finito de términos de una serie el carácter de una serie no se modifica, si bien cuando la serie sea convergente la suma puede serse alterada.
Condición necesaria para la convergencia: Sea : å an
Calculamos :
Si k = 0 la serie convergeo diverge (Continuar el problema)
Si k ¹ 0 la serie diverge (Fin del problema)
Convergencia de series con solo términos positivos
Teorema 1: Toda serie de términos positivos es convergente o divergente, pero nunca oscilante.
Teorema 2: Alterando arbitrariamente el orden de los términos, descomponiendo arbitrariamente cada uno de los sumandos, no se altera el carácter de la serie, ni varíasu suma.
Criterio de Cauchy o de la Raíz. Calculamos :
Si k < 1 la serie converge (Fin)
Si k > 1 la serie diverge (Fin)
Si k = 1 no sabemos (Continuar)
Funciona con : ( )n , ( )p(n)
Criterio de D’Alembert o del cociente. Calculamos :
Si k < 1 la serie converge (Fin)
Si k > 1 la serie diverge (Fin)
Si k = 1 no sabemos (Continuar)
Funciona con: kn , n ! , Semifactoriales ( 1·3·5 ·· · · · (2n+1)).
Criterio de Raabe. Calculamos :
Si k < 1 la serie diverge (Fin).
Si k > 1 la serie converge (Fin).
Si k = 1 no sabemos (Continuar).
Funciona cuando el criterio de la raíz o el cociente sale 1
Criterio del Logaritmo. Calculamos :
Si k < 1 la serie diverge (Fin).
Si k > 1 la serie converge (Fin).
Si k = 1 no sabemos (Continuar).
Nota: El logaritmo puede estar encualquier base.
Criterio de comparación. Sea : å an £ å bn
Si å an diverge entonces å bn diverge.
Si å bn converge entonces å an converge.
Criterio de comparación por paso al límite.
Buscamos el carácter de å an y sabemos el carácter de å bn. Entonces :
Si k ¹ 0 y k ¹ ∞ entonces ambas series tienen el mismo carácter.
Si k = 0 y si å bn converge entonces å an converge.
Si k = ∞ ysi å bn diverge entonces å an diverge.
Series de comparación
S. Geométrica : a + a r + a r2 + a r3 + ... + a rn
Si |r| < 1 serie convergente
Si |r| ³ 1 serie divergente
S. Armónica general : 1/(1p)+ 1/(2p) + 1/(3p) +....+1/(np)
Si p > 1 serie convergente
Si p £ 1 serie divergente
Criterio de Prinsheim : Calculamos :
Si a > 1 la serie converge
Si a £ 1 la serie diverge
Nota :Criterio de comparación con la serie armónica general camuflado
Convergencia de series con términos cualesquiera
Sea: å an . Estudiamos : å |an| y å an
Si å |an| converge (sus términos son positivos) decimos que å an converge absolutamente y que, por lo tanto, converge (Fin)
Si å |an| diverge entonces puede ocurrir que:
å an converge. Se dice que la serie converge condicionalmente.
å...