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Universidad Mariano Gálvez
Cede Antigua Guatemala
Facultad de ingeniería.
Ingeniería en Sistemas.
Matemática Discreta.
Ing. Erick Jiménez
3 Ciclo
3 Semestre/Sección “A”.

















¡TEORIA DE CONJUNTOS!





















0910- 11-13177. Mario Rolando Ramírez García.


Antigua Guatemala.

Teoría básica de conjuntos

La teoríade conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos —como números o polígonos por ejemplo—, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntospueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.
Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.
Ejemplos.
• Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son:el conjunto de los números naturales N, el de los números enteros Z, el de los números racionales Q, el de los números reales R y el de los números complejos C. Cada uno es subconjunto del siguiente:
[pic]
• El espacio tridimensional E3 es un conjunto de objetos elementales denominados puntos p, p ∈ E3. Las rectas r y planos α son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntosde E3, r ⊆ E3 y α ⊆ E3.


Producto Cartesiano.



Definición. Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Simbólicamente:

A x B = {(x, y) / x ∈ A ∧ y ∈ B}.


En consecuencia:

(x, y) ∈ A x B ⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B

(x, y) ∉ A x B ⇔ x ∉ A ∨ y ∉B

En particular, siendo R el conjunto de los números reales, se tiene:
R x R = {(x, y) / x ∈R ∧ y ∈ R }.

R x R es el conjunto de todas las parejas de números reales. La representación geométrica de R x R es el plano cartesiano llamado también plano numérico.
[pic]
Se establece una relación biunívocaentreR x Ry el conjunto de los puntos del plano geométrico, asociándose de esta forma elpar ordenado (x, y) con el punto P(x,y).

Ejemplo 1:

Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será:

A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.


[pic]
3.3.2.1 A ⊂ X ∧ B ⊂ Y ⇔ A x B ⊂ X x Y.
3.3.2.2 A x B = 0 ⇔ A = 0 ∨ B = 0.
3.3.2.3 A ≠ B ∧ A x B ≠ 0 ⇒ A x B ≠ B x A.
3.3.2.4 A x (B • C) = (A x B)( A x C).
3.3.2.5 A x ( B + C) = (A x B) + ( A x C ).Demostración de 3.3.2.2:

Suponga que A x B = 0. Razonando por reducción al absurdo, sí A ≠ 0 y B ≠ 0; entonces existen elementos a y b tales que a ∈ A y b ∈ B. Luego la pareja (a,b) ∈ A x B, en contradicción con la hipótesis de que A x B = 0.
Recíprocamente si A = 0, debe ser A x B = 0 pues si se llega a dar que Ax B ≠ 0, existirá (a, b) ∈ A x B entonces a ∈ A en contradicción con lasuposición de que A = 0.
Análogamente se razona en el caso de que B = 0.








Demostración de 3.3.2.4:
(x, y) ∈ A x (B • C) ⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B • C. ⇔ x ∈ A ∧ ( y ∈ B ∧ y ∈ C). ⇔ ( x ∈A ∧ y ∈ B) ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ C). ⇔ (x, y) ∈ A x B ∧ (x, y) ∈ A x C. ⇔ (x, y) ∈ (A x B) • (A x C).

3.3.3 Número de elementos del producto cartesiano. (Técnicas de conteo). Para conjuntos finitos A y B se tiene:
|A x B | = | A| | B| .

Puesto que:
A x B = {(a, b): a ∈ A ∧ b ∈ B}.


Y para cada una de las | A | elecciones de a en A hay | B| elecciones de b en B para formar el par ordenado (a, b).

Ejemplo 4. Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c}. Entonces A x B consta de 12 elementos, los cuales se pueden representar por medio de una tabla organizada en la siguiente forma:
[pic]
Para el producto...