Segunda Ley Del Cuerpo Rigido

Dinámica del cuerpo rígido

Para un cuerpo rígido (colección de infinitas partículas de masas diferenciales dm)

|[pic] |[pic] |


Figura1. La figura muestra el vector posición y la aceleración de una partícula genérica i de masa diferencial [pic] respecto de un punto Pde la biela.


1era ley: [pic] (1)
Si en la ecuación (1) tomamos momentos a ambos lados, queda:

2da ley: [pic] (2)

En la ecuación (2) el vector [pic] de aceleración de cada [pic] se puede calcular a través de un sistema de referencia móvil ubicado en el punto P del cuerpo rígido considerado, como se muestra en la figura 1. Así:

[pic] (3)

Reemplazando (3) en(2) queda:

[pic] (4)

Desarrollando la ecuación (4) tenemos:

[pic] (5)
Primera integral: desarrollo del vector[pic]
El primer miembro del lado derecho de (5) es:

[pic] (6)

La integral en (6) es por definición la masa total multiplicada por el vector posición del centro de masa respecto de P:

[pic] (7)

[pic] (8)


Segunda integral: desarrollo del vector [pic]
Elsegundo miembro del lado derecho de (5) es la expresión [pic]. Esta expresión se puede desarrollar de la siguiente manera:

Al vector [pic] se le puede denotar como:
[pic](9)




Si se aplica dentro del integrando de (9) la regla del factor medio[1] para el doble producto vectorial, entonces:

[pic](10)
Si ahora en (10) se expresan los vectores [pic] en una base PXYZ solidaria al cuerporígido, cada uno de ellos se podrá escribir como:
[pic]
[pic] (10)
[pic]

Si los vectores [pic] expresados en la base PXYZ se sustituyen en la ecuación (10), tendremos:

[pic]

Agrupando las componentes escalares [pic]del vector [pic] queda:

[pic][pic]
[pic]
Al operar en las ecuaciones (10), (11) y (12), se eliminan algunos términos delintegrando, (encuentre usted cuáles son) y así:



[pic]

[pic]

[pic]
En las ecuaciones (13), (14) y (15) los escalares [pic] son independientes de dmi y pueden salir fuera de la integral. Al mismo tiempo si se reordenan estas ecuaciones de tal modo que la primera columna contenga a [pic], la segunda a [pic] y la última a [pic] tendremos:




[pic]
[pic]
[pic]




En estas últimasexpresiones a las integrales de la diagonal se les denota [pic]e [pic] y son los momentos de inercia de todo el cuerpo rígido respecto a los ejes coordenados del sistema de referencia PXYZ. A las integrales fuera de la diagonal se les denota [pic]e [pic] y son los productos de inercia de todo el cuerpo rígido respecto a los planos coordenados ortogonales asociados al sistema de referencia PXYZ,solidario al cuerpo rígido.
En base a esta notación las ecuaciones (16), (17) y (18) se transforman en:


[pic] (21)

Y al emplear la notación matricial, tendremos:

[pic](22)

En definitiva y en una forma más compacta aún nos queda:

[pic](23)

Donde [pic] es la matriz de inercia de todo el cuerpo rígido respecto de PXYZ y es un operador matemático que transforma las componentesescalares del vector [pic], en el vector [pic], siendo [pic] un vector que es el resultado de los momentos desequilibrados de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo rígido, respecto de P.

Reemplazando el resultado de (8) y (23) en (5):

[pic] (24)

Tercera integral: desarrollo del vector[pic]
Falta encontrar el desarrollo de la última integral dada en (24).

Se puede demostrar que:[pic] (25)

De esta manera:

[pic] (26)

Como la velocidad angular no depende de [pic] puede salir fuera de la integral:

[pic] (27)

el término dentro del paréntesis es por analogía con (23) igual a la matriz de inercia del cuerpo rígido respecto al sistema PXYZ, aplicada a la velocidad angular del cuerpo rígido.

[pic](28)
Por lo que la integral dada en (26 ) se trasforma en:...