Selectivos matematicas calculo diferencial (val)

MATEMÀTIQUES II. FUNCIONS.

PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT

1

FUNCIONS
CÀLCUL DIFERENCIAL.

1.-

Considereu les funcions definides per a x

0, f ( x)

x

arcsin

i g ( x)

arccos

1

.
1 x
1 x2
Calculeu f’(x) i g’(x) i expresseu-les de manera més simplificada possible (2 punts). Compareu els resultats i
deduïu justificadament la diferència entre f(x) i g(x). (1’3punts). (JUNY-2002)
2

2.- Si

f ( x) x 3 ax 2 bx c, trobeu a, b i c sabent que f arriba a un màxim en x = -4 i a un mínim en x
= 0 i que f ( 1 ) = 1. (SET-2002)

3.- Calculeu raonadament el punt de la corba

y

1
en el qual la recta tangent a la corba té pendent
1 x2

màxim i calculeu el valor d’aquest pendent (3’3 punt) (JUNY-2004)

4.a) Tenim inicialment 10 bacteris en uncultiu de laboratori, els quals cada dia es dupliquen. Calculeu,
raonadament, el nombre de bacteris que hi haurà quan hagen transcorregut 10 dies (1 punt).
b) Per a un altre cultiu, on P(t) és el nombre de bacteris que hi haurà en haver transcorregut el temps t
mesurat en dies, calculeu l’augment del nombre de bacteris al cap de 10 dies, sabent que P(0) 500 ,
P(3) 1100 i que la derivada P' (t )és constant per a 0 t 10 (2’3 punts). (SET.2004)

x ln x a si x

5.- Trobeu les constants a i b perquè

f ( x)

b si x
sin( x)
x

0
siga una funció continua per a tot valor

0
si x

0

real x (3’3 punts). (JUNY-2005).

6.- El cabal d’aigua (és a dir, el volum per unitat de temps) que circula per una canonada cilíndrica és
proporcional a la quarta potència del seu radi. Per aproveir una població, s’han previst canonades de cert
radi, però el fabricant les suministra d’un radi que és un 0’5% menor. Estimeu en quin percentatge es reduirà
el cabal real respecte del previst (3’3 punts). (SET.2005).

7.- En el pla

es té la corba y x 2 2 x 1. Trobeu raonadament les equacions de les rectes que passen pel
punt (2,3) i són tangents a l’esmentada corba (3,3 punts).(SET.2005).

8.- a) Dibuixa raonadament la gràfica de la funció

g ( x)

x2

4 quan

1 x

b) Obteniu raonadament els valor màxims i mínims absoluts de la funció f ( x)

1,4 (1’1 punts).
c) Calculeu l’àrea del recinte limitat per la corba d’equació y
(1’1 punts). (JUNY-2006).

f (x) i les rectes x

4 (1’1 punts)

x2

4 en l’interval

1, x

4 i

y

0

MATEMÀTIQUESII. FUNCIONS.

PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT

9.- Una persona camina a la velocitat constant de 3 m/s i s’allunya horitzontalment en línia recta des de la

2

base d’un fanal el focus lluminós del qual es troba a 10 m d’altura. Sabent que la persona fa 1’70 m.
calculeu:
a) La longitud de l’ombra quan la persona es troba a 5 m de la base dels fanal (2 punts).
b) La velocitat decreixement de l’ombra als t segons de començar a caminar (1’3 punts). (JUNY-2006).

10.- Donada la funció

f ( x) Lnx en l’ interval tancat 1, e , sent e=2,718281...:
a) Raoneu que hi ha un punt P de la gràfica f ( x) Lnx en què la recta tangent a aquesta és paral·lela a
la recta que passa pels punts A=(1,0) i B=(e,1) ( 1 punt).
b) Obteniu el punt P considerat en a) (1’8 punts).
c) Calculeu elpendent de la recta tangent a f ( x) Lnx en aquest punt P (0’5 punts).(JUNY-2006).

11.- Un incendi s’estén en forma circular uniformement. El radi del cercle cremat creix a la velocitat
constant d’1,8 m/min.
a) Obteniu l’àrea cremada en funció del temps t transcorregut des de l’inici de l’incendi
(1’3punts).
b)

Calculeu la velocitat de creixement del àrea del cercle cremat en l’instant enquè el radi arribe als 45
m (2 punts).(SET-2006)

12.a) Obteniu la derivada de la funció f ( x) ax b sin x (0,5 punts). Calculeu a i b si O=(0,0) és un
punt de la corba y ax b sin x , la recta tangent de la qual en O=(0,0) és l’eix OX (1,8 punts).
2
b) Justifiqueu que la funció g ( x)
x sin x s’anul·la en dos punts de l’interval 0, (0’5 punts)
c)

Calculeu aquest dos punts (0,5...