serie de fourier

2. Análisis de Fourier

72

Un objeto matemático relacionado con las series es la transformada, introducida por Fourier al estudiar la conducción del calor en una barra de longitud infinita. Se ha aplicado en
área tales como conducción de calor, óptica, procesamiento de señales y probabilidad, y
recibió importantes contribuciones de N. Wiener, quien desarrolló lo que hoy en día se
conocecomo análisis armónico generalizado. También se ha vuelto más abstracta en una rama de la matemática conocida como análisis armónico, algunas de las principales figuras
fueron E. Cartan, H. Weyl, y Harish-Chandra.
Las series de Fourier fueron ideadas para estudiar un problema físico; no sorprende entonces que hayan encontrado tantas aplicaciones. Como muestra esta breve reseña, los
intentos paracomprender el comportamiento de estas series sentaron las bases del análisis riguroso.
Una de las ramas más teóricas de la matemática es la teoría de números, y a primera
vista parecería que no tiene puntos de contacto con las series de Fourier. Sin embargo,
H. Weyl utilizó los resultados de convergencia de Féjer para probar uno de sus teoremas
más relevantes.
Otra de las áreas de aplicaciónde las series de Fourier es la cristalografía. En 1985 H.
A. Hauptman y J. Karle ganaron el premio Nobel de Química por desarrollar un nuevo
método de cálculo de las constantes cristalográficas a partir de sus coeficientes de Fourier,
que pueden inferirse por mediciones. Dos ingredientes fundamentales de su desarrollo
son el teorema de Weyl comentado más arriba, y los teoremas de Toeplitz sobrelas series
de Fourier de funciones no negativas.
Recientemente, el desarrollo de métodos computacionales rápidos para el cálculo de una
versión discreta de la transformada de Fourier, iniciado por J. Cooley y J. Tukey en 1965,
aumentaron enormemente su rango de aplicación. La transformada rápida de Fourier
(FFT) tuvo una difusión tan masiva que en 1993 se estimó que casi la mitad de todo eltiempo de cálculo de las supercomputadoras se gastaba calculando FFT, aún para tareas
tales como la multiplicación de grandes números.
Otro desarrollo reciente que ha recibido gran atención es la teoría de onditas (wavelets).
En este caso las funciones no se expanden en series de Fourier, sino utilizando otras bases
ortogonales que son apropiadas para cálculos eficientes, lo que dio lugar anuevos algoritmos utilizados en procesamiento de señales y para la solución numérica de ecuaciones.

2.2.

Series de Fourier

˜
˜
˜
Una señal x (t) es periódica de período T0 si x (t) = x (t + kT0 ) para todo k entero. La
expansión en series de Fourier consiste en expresarla como una suma infinita de términos
seno y coseno, que habitualmente se escribe como
∞

˜
x ( t ) = a0 +

∑

k=1

ak cos

∞
2π
kt + ∑ bk sin
T0
k =1

2π
kt .
T0

(2.10)

Los coeficientes ak y bk representan las amplitudes de los términos coseno y seno, respectivamente. La cantidad 2π/T0 = Ω0 es la frecuencia angular fundamental de la señal,
˙
y en consecuencia, la cantidad k(2π/T0 ) = kΩ0 representa el k-ésimo armónico de la
˙
frecuencia fundamental. Cada una de las funciones seno ycoseno de la expresión (2.10)

Procesamiento Digital de Señales

U.N.S. 2011

2.2. Series de Fourier

73

Fig. 2.3. Veri…cación grá…ca de las ecuaciones (2.11) y (2.13), para m 6= n, y de la ecuación
(2.12).

se denomina función base, y forman un conjunto ortogonal sobre el intervalo T0 , lo que
significa que satisfacen las siguientes relaciones:
(
Z T0
T0 /2,
m = n,
cos mΩ0 t cosnΩ0 t dt =
(2.11)
0
0,
m 6= n,
Z T0
0

Z T0
0

cos mΩ0 t sen nΩ0 t dt =
sen mΩ0 t sen nΩ0 t dt =

0,
(

para todo m, n,

T0 /2,

m = n,

0,

m 6= n.

(2.12)
(2.13)

Estas relaciones pueden verificarse analíticamente (calculando la integral) o bien estudiando gráficamente el producto de dos señales de diferentes frecuencias, tal como se
ve en la Fig. 2.3: el producto...