Serie De Fourier

Universidad Autónoma de Ciudad Juárez
Instituto de Ingeniería y Tecnología Maestría en Ingeniería Eléctrica Series de Fourier Señales y sistemas
Arredondo Rivas

Alumno : V ictor Matricula :

125327

1. Calcular la serie de Fourier de la siguiente graca.

Figure 1: Comportamiento de la señal x(t). Haciendo uso de la fórmula Ck =
1 T

x(t)e−jωπkt dt tenemos que en nuestro caso lasconstantes T y ω

estan dadas como T = 2; ya que tomando como periodo donde comienza la señal hasta donde vuelve a comenzar, la distancia que se recorre en de 2 unidades. Por otro lado la constante ω esta dada como
ω= 2π 2π = = π. T 2

Una vez conociendo dichas constantes podemos proseguir a calcular los Ck con la formula ya mencionada anteriormente. Para k = 0 tenemos lo siguiente:
C0 = = = == 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4
1 2

[
0

te−jπ(0)t +
1

e−jπ(0)t ]

t2 1 | + t |2 ] 1 2 0 1 [ − 0 + 2 − 1] 2 3 [ ] 2 [

Hacer esto para 5 aproximaciones sería algo tedioso, asi que calculamos una forma general de poder calcular las demas constantes. Entonces supongamos que queremos encontrar los Ck 's para cualquier valor de k, entonces nuestra forma general estara dada como:

Ck

= = == =

1 2 −jπkt 1 1 −jπkt te dt + e dt 2 0 2 1 1 e−jπkt 1 e−jπkt 2 e−jπkt (t + 2 2 |1 ) + (j |1 ) 0 2 kπ k π 2 kπ 1 e−2jπk e−jπk e−2jπk 1 e−jπk [i + 2 2 − 2 2 +i −i ] 2 kπ k π k π kπ kπ 1 e−jπk 1 e−2jπk [i + 2 2 − 2 2] 2 kπ k π k π e−2jπk e−jπk 1 i + 2 2− 2 2 2kπ 2k π 2k π e−jπkt como sigue:

En este caso resolvimos la integral de

e−jπkt

= = =

e−jπkt jπk e−jπkt j2 jπk e−jπkt j πk −donde j 2 = −1. Por lo tanto la forma general de Ck es de la forma,
Ck = i e−jπk e−2jπk 1 + 2 2− 2 2 2kπ 2k π 2k π

con lo cual sólo es necesario darle los valores que necesitemos a k para que nos arroje los valores de Ck . Calculando los valores tenemos lo siguiente: Cuando k = 1 se tiene
e−2jπ e−jπ 1 + − 2 2π 2π 2 2π i 1 1 = [cos(−2π) + i sin(−2π)] + 2 [cos(−π) + i sin(−π)] − 2 2π 2π 2π i 11 = [1] + 2 [−1] − 2 2π 2π 2π 1 i = − + π 2π = i

C1

∗ Para calcular C−1 no es necesario hacer el procedimiento anterior ya que C−k = Ck , por lo tanto, tenemos

que el valor de C−1 esta dado como
C−1 = − 1 i − π 2π

Para calcular C2 no es necesario hacer el procedimiento anterior completo ya que la parte imaginaria de la ecuación de Euler siempre será 0. Esto debido a que sin(kπ) = 0siempre que k ∈ Z por lo tanto podemos evitar escribir la parte imaginaria y solo utilizar la parte real, la cual está dada por cos(kπ). Ahora calculando el coeciente para k = 2 tenemos

C2

= i = = =

1 e−4jπ e−2jπ − 2 + 4π 8π 2 8π i 1 1 [cos(−4π)] + 2 [cos(−2π)] − 2 4π 8π 8π 1 i 1 − 2 + 4π 8π 2 8π i 4π

i Por consiguiente tenemos que C−2 = − 4π . Haciendo los cálculos para k = 3 llegamosa

C3

e−6jπ e−3jπ 1 + − 6π 18π 2 18π 2 1 1 i [cos(−6π)] + [cos(−3π)] − = 6π 18π 2 18π 2 i 1 1 = − − 6π 18π 2 18π 2 1 i = − 2+ 9π 6π = i

1 Entonces C−3 = − 9π2 −

i 6π .

Para k = 4 se tiene
= i = = = e−4jπ 1 e−8jπ + − 2 8π 32π 32π 2 i 1 1 [cos(−8π)] + [cos(−4π)] − 2 8π 32π 32π 2 1 i 1 − + 8π 32π 2 32π 2 i 8π

C4

i Por lo tanto, C−4 = − 8π . Por último tenemos k = 5, entoncesC5

= = = =

i

e−10jπ e−5jπ 1 + − 10π 50π 2 50π 2 i 1 1 [cos(−10π)] + [cos(−5π)] − 10π 50π 2 50π 2 1 1 i − − 10π 50π 2 50π 2 1 i − + 25π 2 10π
i 10π .

1 Por último tenemos que C−5 = − 25π2 −

Una vez que ya se tienen los coecientes, se procede a
n

evaluarlos en la fórmula
x(t) = C0 +

Ck ejωkt
k=1

para obtener la gráca que aproxima a la señal descrita al principio.Entonces procediendo con la fórmula, vamos a tener la siguiente función.

x(t) =

3 i iπt i −iπt i 3iπt 1 1 i 2iπt i −2iπt 1 + (− 2 + )e + (− 2 − )e + e − e + (− 2 + )e 4 π 2π π 2π 4π 4π 9π 6π i −3iπt i 4iπt i −4iπt 1 i 1 i 1 )e + e − e + (− + )e5iπt + (− − )e−5iπt . + (− 2 − 9π 6π 8π 8π 25π 10pi 25π 10pi

Multiplicando las exponenciales con cada una de las constantes que lo multiplica y ademas...