SERIE DE FOURIER

Relacion entre las propiedades de tiempo de
una señal y la representación de Fourier
Propiedad de

periodica

no periodica

tiempo
Continua

discreta

Serie de fourier (FS)

Serie de Fourier en
tiempo discreto
DTFS

Transf. De
Fourier (FT)

Transf. De
Fourier en
tiempo discreto
(DTFT)

REPRESENTAR UNA SEÑAL PERIÓDICA
MEDIANTE SERIE DE FOURIER
• La figura representa una señal periódica:
G(t)
tT

g (t )  g (t  T0 )

Para T0 0

T0 es el valor mas pequeño que satisface la ecuación
k

g (t ) a0   an cos 2nf 0t  bn sen 2nf 0t
n 1

Se puede ver facilmente que g(t) es periódica con periodo T0 si se demuestra que:

g (t  T0 ) g (t )

Cont...
• Por lo tanto:Cualquier combinación de senoides de frecuencias 0,
f0, f1, f2, .......,kf0 es una señal periódica con periodo T0.
• Esevidente que si se combinan los valores an y bn es posible
construir una variedad de señales periódicas.
• Determinando los valores de los coeficientes obtenemos:
T0

T0

a0  T10 g (t )dt an  T2 g (t ) cos n 0tdt
0

0

0

T0

bn  T20 g (t ) sen(n 0t )dt
0

• Expresando la serie de fourier de manera compacta :

g (t ) c0   cn cos(n 0t   0 )
n 1

c0 a0

cn  an2  bn2

 1 bn
an

 0 tg ()

• Ejemplo

Representación de una señal periódica mediante una
serie exponencial
• Dada una señal periódica
g(t) se puede representar

jn 0t
mediante: g (t ) 
Ge



n

0 

n 

Gn 

1
T

T

 g (t )e
0

 jn0t

dt

2
T

• Señal periódica discreta: Si x[n] es una señal en tiempo
discreto con periodo fundamental N. x[ n]  A[ k ]e jk0n


k

• Donde  2 / N es la frec.Fundamental de x[n]
0
• Hay solo N senoides complejas distintas de de la forma

• Señal periódica continua: Si x(t) es una señal en tiempo
continuo con periodo fundamental T.


x (t )   A[ k ]e jk0t
k 

Cont........
• Encuentre le serie de Fourier del tren de pulsos rectangular.
K(t)
A

• Calculando las constantes:



t
T0

• Si =T0/5 y A=1 Cn = (1/5)Sinc(n/5).Graficando

Cn  AT0 sin c (nT0 )

Si =T0/5 y A=1 Cn = (1/5)Sinc(n/5).Graficando
0.2

Cn
0.15

0.1

0.05

0

­0.05
­25

no
­20

­15

­10

­5

0

5

10

15

20

25

Si =T0/2 y A=1 Cn = (1/2)Sinc(n/2).Graficando
0.5

Cn

0.4
0.3

0.2

0.1

0
­0.1

­0.2
­25

­20

­15

­10

­5

0

5

10

15

20

25

no

Si =T0/20 y A=1 Cn = (1/20)Sinc(n/20).
0.05

0.04
0.03

0.02

0.01

0
­0.01

­0.02
­50

­40

­30

­20

­10

0

10

2030

40

50

Si =T0/40 y A=1 Cn = (0.025)Sinc(n/40)
0.025

0.02
0.015

0.01

0.005

0
­0.005

­0.01
­100

­80

­60

­40

­20

0

20

40

60

80

100

Continuación serie de fourier
Una señal discreta x[n] es periódica con periodo N donde N es un
entero positivo y si x[n] no cambia con un corrimiento de
tiempo de N. Es decir:
n
x[n]  x[n  N ]
Si esta ecuación se satisface x[n] es periódicaen 2n, 3N,.......
N: periodo fundamental es el valor mas pequeño.
Ejemplo: se muestra una señal periódica con N=3.
X[n]

0

n

Cont....
• Ejemplo: verificar la periodicidad de la señal dada por
, Si t < 0

cos( t )
sen ( t )

x(t ) {

, Si t  0

• Puesto que x(t) tiene discontinuidad en el origen notamos que
las características de la señal no se va ha repetir. Concluimos
que X(t) no esperiódica
• SEÑAL PAR E IM PAR
•

Una señal x(t) ó x[n] se conoce como señal par ó impar si
se cumple x(-t) = x(t) y x[-n] = x[n] ; x(-t) = -x(t) y x[-n] = -x[n]
repectivamente.
X(t)

X(t) es par

t
t

Cont......
• Cualquier señal se puede separar en la suma de 2 señales en la
cual una es par y la otra impar.

x(t ) Ev | x(t ) | Od | x(t ) |

x(t )  12 | x(t )  x( t ) |  12 | x(t )  x( t ) |
11,...n0
0 ,... n0

x[n] {

. . . . . . .

. .

n

-3

-2

-1 0

1/ 2 ,...n0

Ev{x[n]} {1,.....n0

.. . . . . . .
1

2

3

1
1/2

. . . . . . .

. . . . . . . . ..

1 / 2 ,... n0

n
-3

-2

-1 0

1

 1 / 2 ,....n0

Od{x[n]} {0 ,......n0

1 / 2 ,... n0

2

3

2

3

1/2
-3

-2

-1
n
0

-1/2

1

Escalamiento en el tiempo
• Sea x(t) una señalen tiempo continuo. El escalamiento en...