Serie De Von Koch

00 Centro de Enseñanza Técnica y Superior
Escuela Preparatoria
Matemáticas
Exploración de la serie de von Koch
Nombre: José Orlando González Rodríguez
Matrícula: 30790
Grupo: 8008
# Palabras: 1076
Fecha: 29 de septiembre de 2015

Serie de von Koch
Es una serie basada en una recta que genera una sucesión infinita. Consiste en dividir el segmento en 3partes iguales, y sustituir el que se encuentra en medio por 2 de la misma longitud que generen ángulos de 60 grados en relación a la base, formando un triángulo equilátero. Después se sigue el mismo procedimiento para cada una de los nuevos segmentos en la figura. Al realizar el mismo procedimiento con un triángulo equilátero se puede llegar a algo parecido a un copo de nieve.

Figura 1: Es lamanera en la que se representa la serie de von Koch gráficamente en un triángulo equilátero. Imagen hecha por Letendre, D; Pelletier, S; St-Amour, V. (2012). Périmètre du Flocon de Koch. [Figura]. Recuperado de http://math.uqam.ca/~progiciels/Letendre-Pelletier-St-Amour/Letendre-Pelletier-St-Amour/pageaccueil.html
La serie es definida como una curva fractal debido a las características que presentala misma. Como curva fractal se refiere a una figura semi-geométrica que puede o no ser regular que se repite bajo distintas escalas. (Definición de, 2015)
13430251341120N=1
N=1
24765001388110N=2
N=2
37623751388110N=3
N=3
2286001340485N=0
N=0

Figura 2, Concierta. (2012) Entre leyendas e iconos anda el juego: #elquieninteligente en busca del símbolo gráfico. [Figura]. Recuperado dehttp://concierta.org/entre-leyendas-e-iconos-anda-el-juego-elquieninteligente-en-busca-del-simbolo-grafico/
A través de la figura 2 es posible apreciar el cambio que conlleva el triángulo al ser aplicada la serie, y es posible a través de esto generar una fórmula que permita calcular distintas partes de la figura como la medida de sus lados, su perímetro o su área.
-5715016103600Dentro de la figura,“N” representa la posición que tiene el cuerpo dentro de la serie de von Koch. A primera vista se puede observar que cada uno de los segmentos que conforman la figura es multiplicado por 4n, ya que, como se explico anteriormente, se divide en tres secciones, se elimina la que esta en medio y se agregan 2 más de la misma longitud que generen una forma con 4 segmentos como la que se muestra en lafigura 3.
2886075-1270

-571505860200
(Figura 3)
Al tomar por ejemplo “n = 0”, se eleva a la potencia “0” el “4”, por lo cual el resultado es “1”. Después con la siguiente figura, “n = 1” se eleva a la primera potencia el “4”, y de esta manera se encuentra que contiene 12 lados, que puede ser comprobado al contar manualmente en la figura 2. De esta manera, se puede representar con a formulaNúmero de lados=3*4n.
Posteriormente a encontrar una fórmula para calcular el número de lados dentro de la figura, es posible también encontrar el perímetro, pero antes se tiene que buscar la manera de representar la medida de los lados. Cabe mencionar que, en la serie de von Koch, cada uno de los segmentos que se va agregando tiene una misma longitud a los segmentos que quedan al dividir la recta en3 partes, por lo que cada una de las aristas en la figura presenta siempre una misma medida. Para encontrar la medida de los lados en cualquier elemento de la serie, se analiza primero el cambio que presentan las rectas. Al ser siempre la tercera parte de la recta original, se puede representar como L=l3n, en la que “L” es la longitud de cada segmento en el elemento de la serie y “l” es lalongitud de la figura inicial.
A través de las dos fórmulas expuestas anteriormente, es posible encontrar el perímetro de cualquier elemento dentro de la sucesión, ya que es simplemente la multiplicación de 3*4n*L. Al ser “n” un número positivo infinito, se puede decir que el perímetro de la serie de von Koch en su totalidad es infinita.
Para sacar el área de la figura, primeramente se tiene que...