Series De Fourier

1 f (t )  2







F ( ) exp (i t ) d

La transformada de Fourier
F ( ) 






f (t ) exp(i t ) dt

De la Serie de Fourier a la Transformada de Fourier
La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el dominio de la frecuencia de funciones periódicas f(t).
¿Es posible extender de alguna manera las series de Fourier para obtener unarepresentación en el dominio de la frecuencia de funciones no periódicas? Consideremos la siguiente función periódica de periodo T:

Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T:
1

f(t)
p

...

-T

-T/

2

0 -p/ 2 p/ 2

T/

2

T ...

t
p 2 p 2 T 2

0  f (t )  1 0 

T 2 p 2 p 2

t  t  t 

Los coeficientes de la serie compleja de Fourier en este casoresultan puramente reales:

 p  sen(n ) cn     T  (n )
p 0 2 p 0 2

El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos (en este caso) graficando cn contra  = n0.

Espectro del tren de pulsos para p = 1, T = 2
0.6

0.4
cn

0.2

0

-0.2

-60

-40

-20

0

20

40

60 w=nw

0

Si el periodo del tren de pulsos aumenta...
1.5 1 0.5 0 -20
1.5 1 0.5 0 -201.5

p = 1, T = 2

f(t)

-10

0

t

10

20

p = 1, T = 5

f(t)

-10

0

t

10

20

p = 1, T = 10
f(t)
1 0.5 0 -20 1.5

-10

0

t

10

20

p = 1, T = 20
f(t)
0.5 0 -20 1

-10

0

t

10

20

...el espectro se "densifica".
0.4 0.2 0 -0.2 -50 0 50

cn

0.6

p = 1, T = 2

=n0

0.3 0.2

p = 1, T = 5

0.1
0 -0.1 0.15 0.1 0.050 -0.05
0.06 0.04 0.02 0 -0.02

-50

0

50

p = 1, T = 10

-50

0

50

p = 1, T = 20

-50

0

50

En el límite cuando T, la función deja de ser periódica:
1.5

p = 1, T = 
1

f(t)
0.5

0 -20

-10

0

t

10

20

¿Qué pasa con los coeficientes de la serie de Fourier?

Si se hace T muy grande (T), el espectro se vuelve "continuo":

Elrazonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la expresión de una función f(t) no periódica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armónicos de frecuencia n0, sino como una función continua de la frecuencia . Así, la serie:

f (t ) 

al cambiar la "variable discreta" n0 (cuando T) por la variable continua , se transforma en una integral de la siguiente manera:

n  

c e
n

in0t

T /2

Recordemos:

cn 

1 T

T / 2

 f (t )e


in0t

dt

y

T

2

0

La serie de Fourier es: -T/2< x < T/2 f (t )  O bien: T  2 / 0 0  2 / T


 1 T /2  in0t in0t   T  f (t )e dt e n    T / 2 
T /2

1 f (t )    2 n   

T / 2

 f (t )e

in0t

 in0t dt 0e 

Cuando T , n0   y 0  d y elsumatorio se convierte en:

f (t ) 

1 2

  it it  f (t )e dt e d   


La transformada de Fourier
Es decir,


f (t ) 
donde:

1 2



F ( )eit d 
it

Identidad de Fourier o antitransformada de Fourier
Transformada de Fourier

F ( ) 





 f (t )e

dt

Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F() (dominio de lafrecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.

La transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier

F ( ) 








f (t ) exp(i t ) dt

1 f (t )  2





F ( ) exp(i t ) d

En algunos textos, el factor 1/2 se "reparte" entre la transformada y la anti-transformada para obtener simetría en la expresión, como: 1/√(2).

Notación:A la función F() se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F o fˆ, es decir

ˆ F [ f (t )]  F ( )  f ( ) 





 f (t )e

it

dt

En forma similar, a la expresión que nos permite obtener f(t) a partir de F() se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F –1 ,es decir

F [ F ( )]  f (t ) 
1

 1 2



F ( )e d 
it...