Series De Furier Y Transformada De Laplace
Matematicas 5
Catedratico: Eduardo de la fuente
Alumno: janssen del Carmen nanguse Jimenez
Carrera: ing. Electromecánica
Teapa tabasco
3.1 Definición de la trasformada de Laplace.
Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como
Cuando tal integral converge
La letra s representa una nuevavariable, que para el proceso de integración se considera constante
La transformada de Laplace convierte una función en t en una función en la variable s
Tabla de Transformadas
Obtención
Obtención
Obtención
Obtención Para n entero
Obtención Para
Obtención Para s > a
Obtención
Obtención
Obtención
Obtención
3.2 Condiciones suficientes deexistencia para la trasformada de Laplace.
Sea una función continua a trozos y de orden exponencial, entonces la transformada de Laplace de existe.
Es decir, existe un número tal que existe para .
Demostración
Por ser de orden exponencial existen números no negativos , y tales que , para . Así que
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La primera integral
es una integral definida, portanto existe. Para la segunda integral note que
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Ahora, como
Siempre y cuando , tenemos que la integral
Existe y con ello la transformada.
Ejemplo
Compruebe que la transformada
Existe, aún cuando no cumple las hipótesis del teorema de existencia anterior.
Solución
Claramente tiene una discontinuidad infinita en , con lo cualno es continua a trozos en el intervalo ; pero
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Para calcular esta última integral sea
Con lo cual
Ahora note que
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Figura 1.4
Donde es el cuadrado de lado , que se muestra en la figura 1.4 Observe que si y son las regiones que se muestran en la figura 1.4 entonces
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Con locual, tomando el límite
3.3 Trasformada de Laplace de funciones básicas.
Decimos que la función es de orden exponencial si existen números , y tales que
para
Intuitivamente esto significa que la función esta por debajo de una función exponencial, como se muestra en la 1.3.
Figura 1.3
Observación: algunas veces, para verificar que una función es de orden exponencial,conviene calcular el siguiente límite:
para algún valor de . Si es finito, entonces puede ser cualquier número mayor que (y este determina). Por otro lado, si , no es de orden exponencial.
Ejemplo
Compruebe que es de orden exponencial.
Solución
Para comprobar esto, apliquemos tres veces la regla de L'Hôpital
para cualquier número positivo . Por lo tanto, si es suficientemente grande
,y así es de orden exponencial.
Ejemplo
Compruebe que la función es de orden exponencial para cualquier valor de .
Solución
Calculando el límite
siempre y cuando . De donde, para grande.
Observación: no es difícil comprobar que cualquier polinomio de grado o función trigonométrica como con constante, son de orden exponencial, así como, las sumas y productos de un númerofinito de estas funciones. En general, si y son de orden exponencial la suma y el producto son de orden exponencial
3.4Trasformada de Laplace de funciones
definidas por tramos.
Decimos que una función es continua a trozos si
1.- está definida y es continua en todo , salvo en un número finito de puntos , para .
2.- Para cada los límites
Existen. Note que, solamente uno de estoslímites es pertinente si es uno de los extremos de.
En general, el requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos implica que las únicas discontinuidades de son discontinuidades de salto, del tipo que aparecen el la figura 1.2.
Figura 1.2
Intuitivamente podríamos pensar que las funciones continuas a trozos son casi continuas o que no son demasiado discontinuas.
Otra de las...
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