Series Fourier

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

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Métodos
Matemáticos I
Marta Cordero Gracia
Mariola Gómez López
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

ETSI Aeronáuticos

Universidad Politécnica de Madrid
1

Análisis de Fourier

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

– p. 1

Análisis de Fourier

Definición
El Análisis de Fourier esun conjunto de técnicas basadas

f :R→R
f = a1 f1 + a2 f2 + · · · + ak fk + · · ·

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

Análisis de
Fourier

en la descomposición de una función en funciones trigonométricas.
Sistema de
Funciones Ortogonales
{f1 , f2 , . . . , fk , . . .}

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

periódica

f : [a, b] → R
Serie de
Fourier

f :R→R
no periódica
Transformada
de Fourier

fktrigonométrica
Análisis de
Fourier
– p. 2

– p. 3

Conceptos previos

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

Función par/impar

Conceptos previos

f (−x) = f (x)

∀x ∈ [a, b]

Impar:

f (−x) = −f (x)

∀x ∈ [a, b]

f (x) = f (x + T ) ∀x ∈ R

⎧
⎪
⎪
⎨ 2

−a

⎪
⎪
⎩

Si f (x) = f (x + T ) ∀x ∈ R

a

f (x) dx

con T ∈ R+

Integración de funciones periódicas

Integración defunciones par/impar

f (x) dx =

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Función periódica

Par:

a

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

a+T

Si f es par

f (x) dx no depende de a

entonces

0

a

0

Si f es impar

– p. 4

Función periódica

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E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

– p. 5

Cálculo de coeficientes

Sea f : R → R una función 2π-periódica continua a trozos.

+∞

f(x) =

Serie de Fourier: forma trigonométrica
+∞

π

f (x)e

Serie de Fourier: forma exponencial

cn einx

+∞

dx =

π

cn
n=−∞

⎧
⎨ 2π
i(n−k)x
e
dx =
⎩ 0
−π
π

cn einx

n=−∞

1
c0 = a0
2

−ikx

−π

ya que

f (x) =

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n=−∞

1
f (x) = a0 +
an cos(nx) + bn sin(nx)
2
n=1

+∞

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

1
cn =
2π

1
1
cn = (an − ibn ) c−n = (an + ibn )
2
2
– p.6

π
−π

f (x)e−inx dx

−π

ei(n−k)x dx = 2πck

si n = k
si n = k
n = 0, ±1, ±2, . . .

– p. 7

Cálculo de coeficientes
an = cn + c−n

π

1
=
2π

an =

bn =

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

f (x) e−inx + einx dx =⇒

i
2π
1
π

Ejemplo 1
f (t) = |t|

−π

1
π

bn = i(cn − c−n ) =

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

−π

π
−π

a0 =

1
π

an =

1
π

f (x) e−inx − einx dx =⇒
=

π

f (t) dt =
−π

n =1, 2, . . .

−π

bn =

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

– p. 10

2
π

k=1

cos(2k − 1)t
(2k − 1)2

π

t dt = π
0

π

f (t) cos(nt) dt =
−π

∞

⎧
⎨ 0

2
π

π

t cos(nt) dt =
0

n = 2k
2 (−1) − 1
=
⎩ − 4 n = 2k + 1
π
n2
πn2
1
π

– p. 8

Ejemplo 1

4
π
f (t) = −
2 π

n

π

f (x) sin(nx) dx

E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

−π ≤t≤π

π

f (x) cos(nx) dx n = 0, 1, 2, . ..

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

π

f (t) sin(nt) dt = 0
−π
– p. 9

Ejemplo 1

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

– p. 10

Ejemplo 1

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

Ejemplo 1

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

– p. 10

Ejemplo 1

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I.Aeronáuticos (UPM)

– p. 10

Ejemplo 2

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∞

f (t) = t

−π
(−1)n+1
sin(nt)
n

f (t) = 2
n=1

c0 =

1
2π

cn =

1
2π

π

f (t)dt =
−π
π

tdt = 0
−π

f (t)e−int dt =

−π
∞
n=−∞
∞

=
n=1
∞

=
n=1

1
2π

cn eint =

f (t) =

– p. 10

π

1
2π

n=0

π

te−int dt =

−π
n+1

(−1)
in

(−1)n+1
in

eint =

∞

(−1)n+1 int
(−1)−n+1 −int
e+
e
=
in
−in
n=1
(−1)n+1 int
e − e−int
in
– p. 11

Ejemplo 2

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

Ejemplo 2

– p. 12

Ejemplo 2

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

– p. 12

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
E.T.S.I. Aeronáuticos (UPM)

– p. 12

Ejemplo 2

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