Series Fourier

Series de Fourier

En el presente documento a desarrollar presentaremos lo que es la “Serie de Fourier”, una herramienta que desde sus inicios ha proporcionado a la ingeniería soluciones a grandes problemas. A continuación desglosaremos su historia (como se originó), que data de más de 200 años, brevemente la vida de Fourier, el planteamiento matemático de la serie, sus fórmulas y aplicaciones.Historia

El análisis de Fourier recibe el nombre de honor de Joseph Fourier (1768-1830), matemático francés que vivió durante la era napoleónica (acompaño a Napoleón en su campaña a Egipto). Fourier es honrado justamente al tener su nombre vinculado a esta importante rama del análisis. Sin embargo, como podíamos esperar, muchos de los contemporáneos de Fourier y predecesores inmediatoscontribuyeron a esta gran obra.
Leonard Euler (1707-1783) fue un matemático suizo considerado por algunos el mayor analista que haya existido, en sus investigaciones aparecen las series de Fourier.
Poco después de esta observación por parte de Euler, en 1754, Jean le Rond D’Alembert (1717-1783) obtuvo el desarrollo trigonométrico en cosenos para el reciproco de la distancia entre dos planetas en términosde ángulos entre los vectores del origen a los planetas. Las formulas integrales para los coeficientes de Fourier aparecieron en el trabajo de D’Alembert.
Así, a mediados del siglo XVIII, empezaron a aparecer las series trigonométricas. Los matemáticos más importantes las estudiaron e hicieron cálculos con ellas. Su importancia no fue totalmente entendida en ese tiempo y algunos de los cálculossimplemente eran incorrectos. Sin embargo su aparición en conexión con problemas importantes planteo preguntas y condujo a una mayor investigación sobre ellas. Una pregunta, por ejemplo, era como una función no periódica podía ser representada mediante una serie en senos y cosenos, que son periódicos.
Hacia 1750, las formulas integrales para los coeficientes de Fourier ya eran conocidas, si bien nosiempre se confiaba en ellas.
Matemáticos como Euler preferían obtener las series trigonométricas de otra manera.
Joseph Fourier nació en 1768, en el momento más álgido de este debate, como estudiante, mostró talento para las matemáticas, pero las tomo como profesión únicamente cuando su origen (era hijo de un sastre) le impidió obtener un cargo militar.
Un problema muy importante a principios delsiglo XIX era la descripción matemática de la conducción del calor en diferentes medios. En 1807, Fourier envió un artículo sobre este tema a la prestigiosa Academia de Ciencias de Paris, en calidad de concursante a un premio que se había ofrecido al estudio más exitoso de este problema. Gigantes de las matemáticas como Laplace, LaGrange y Legendre fueron quienes calificaron el trabajo y lorechazaron por falta de rigor. Sin embargo alentaron a Fourier a que continuara con su investigación y completara los detalles que había omitido. En 1811, Fourier envió una versión corregida de su artículo y gano el premio de la academia. Por ultimo en 1822, Fourier publico el que ahora es su clásico trabajo Theorie Analytique de la Chaleur, incorporando la mayor parte de sus resultados de 1811 juntocon algunos nuevos.

Marco Teórico

Serie: Una serie es un conjunto de cosas que tienen una relación entre sí y que se suceden unas a otras.

Función Periódica: En matemática, una función es periódica si los valores de la función se repiten conforme se añade a la variable independiente un determinado período.

Función Par: Una función par  es cualquier función que satisface la relación f(x)=f(-x) ysi x es del dominio de f entonces –x también. Desde un punto de vista geométrico, una función par es simétrica con respecto al eje y, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una reflexión sobre el eje y.

Función impar: Una función impar es cualquier función que satisface la relación f(-x) = -f(x) para todo x en el dominio de f. Desde un punto de vista geométrico, una función...