Series d furier medio intervalo

Tema 7 Series de Fourier
´ Nuestro principal objetivo es introducir las series de Fourier. Estas surgieron hist´ricamente o al resolver por el m´todo de separaci´n de variables un problema de contorno de ecuaciones e o en derivadas parciales. Cuando estas f´rmulas fueron propuestas por Daniel Bernouilli en 1.753, muchos o matem´ticos pensaron que era imposible expresar una funci´n f (x)cualquiera como suma a o de senos y cosenos. Fue un ingeniero, Joseph Fourier, el que se encarg´ de recopilar datos o para convencer al mundo cient´ ıfico de tal posibilidad.

7.1

Series de Fourier

Definici´n 7.1 (Serie de Fourier) o Se llama serie de Fourier de una funci´n f(x) en el intervalo [−π, π] a: o f (x) =
∞ a0 + (an cos nx + bn sen nx) 2 n=1

(∗)

A los coeficientes a0 , a1 , · · · ,an , b0 , b1 , · · · , bn se les llama coeficientes de Fourier de f(x) en [−π, π]. Debido a que
π −π

sen mx sen nx dx =

0 =0

si n = m si n = m 1

π −π

cos nx dx = 0

π −π

sen nx dx = 0

2
π −π

Tema 7. Series de Fourier

cos mx cos nx dx =

0 =0

si n = m si n = m

π −π

sen mx cos nx dx = 0

e integrando t´rmino a t´rmino en la igualdad (∗) obtenemos: e e
π −ππ −π π −π

f (x) cos nx dx = an f (x) dx =

π −π

cos2 x dx = an π ⇒ an =
π −π

1 π

π −π

f (x) cos nx dx

a0 1 2π ⇒ a0 = 2 π
π −π

f (x) dx 1 π
π −π

f (x) sen nx dx = bn

sen2 x dx = bn π ⇒ bn =

f (x) sen nx dx

Las anteriores propiedades de las funciones sen nx, cos mx se pueden resumir en que el sistema {1, sen x, sen 2x, · · · , cos x, cos 2x · · ·} es un sistemaortogonal de funciones respecto del producto escalar π (f (x), g(x)) = f (x)g(x) dx y la serie de Fourier no es mas que la expresi´n de un o vector f (x) como combinaci´n lineal de los vectores de la anterior base ortogonal. o o Definici´n 7.2 Se llama serie de Fourier de una funci´n f(x) en el intervalo [−L, L] o a: ∞ a0 nπ nπ f (x) ∼ + x + bn sen x an cos 2 L L n=1 donde bn = 1 L a0 =
L −L −π1 L

L −L

f (x) dx nπ x dx L

an =

1 L

L −L

f (x) cos

nπ x dx L

f (x) sen

Este hecho se basa en que el sistema de vectores 2πx πx 2πx πx , sen , · · · , cos , cos ,··· L L L L es un sistema ortogonal de funciones respecto del producto escalar 1, sen (f (x), g(x)) =
L −L

f (x)g(x) dx

An´logamente se puede definir la serie de Fourier de una funci´n f (x) definida enun a o a+b al origen. intervalo [a, b] haciendo una traslaci´n del punto medio o 2

7.1. Series de Fourier

3 −L=a− a+b a−b = 2 2

Tomo L = b −

a+b b−a = 2 2

Definici´n 7.3 Se llama serie de Fourier de una funci´n f(x) en el intervalo [a, b] a o o
∞ nπ a0 nπ f (x) = + an cos b−a x + bn sen b−a x 2 n=1 2 2

donde bn =

a0 = 2 b−a

2 b−a
b

b a

f (x) dx 2nπ x dx b−a

an =2 b−a

b a

f (x) cos

2nπ x dx b−a

a

f (x) sen

Las series anteriores tambi´n se podr´ haber escrito de la forma: e ıan
∞

f (x) ∼ C0 +
n=1

Cn cos(nω0 t − θn ) an a2 + b2 n n bn an

donde

Cn =

a2 + b2 , n n bn a2 + b2 n n

cos θn =

sen θn =

θn = arctang

siendo ω0 = 1,

π 2π , seg´n hayamos utilizado una de las tres f´rmulas anteriores. u o L b−a

Lacomponente sinusoidal de frecuencia ωn = nω0 se denomina la en´sima arm´nica e o de la funci´n peri´dica. La primera arm´nica se conoce comunmente con el nombre de o o o 2π fundamental porque tiene el mismo periodo que la funci´n y ω0 = o se conoce con T el nombre de frecuencia angular fundamental. Los coeficientes Cn y los ´ngulos θn se a conocen como amplitudes arm´nicas y ´ngulos de fase,respectivamente. En M´sica, a la o a u primera arm´nica, segunda arm´nica, etc. se le suele llamar fundamental, primer tono, o o segundo tono, etc. Quedan muchas cuestiones por resolver: • ¿ Qu´ debe cumplir f (x) para que su serie de Fourier converja? e • Si converge, ¿ lo hace a f (x)? • ¿ Es posible integrar t´rmino a t´rmino?. ¿ Y derivar? e e Estas preguntas las responderemos con los siguientes...