Series y suceciones
Definición de sucesión. Sea a:N R una función, es decir, ∀ n ∈ N ∃ a n = a ( n ) ∈ R
Al conjunto
{a ( n )} ⊂
R
se le llama una sucesión en R.
Al conjunto
{a n }∞=1 n
usualmente se le llama una sucesión y a
an
se le conoce como el n-ésimo término de la sucesión.
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SUCESIONES MONOTONAS
{an }∞=1 esCRECIENTE, si an < an +1 , ∀n ∈ N n
Sea {an }n =1 una sucesion real, se dice que la Sucesion :
∞
{n }
2 ∞ n =1
{an }∞=1 es una sucesion no decreciente, si an ≤ an +1 , ∀n ∈ N n {an }∞=1 es DECRECIENT E, si an > an +1 , ∀n ∈ N n {an }∞=1 es una sucesion no creciente, si n
1 n y 2 son sucesiones Decrecient es n n =1 n + 1 n =1 an ≥ an +1 , ∀n ∈ N
∞ ∞
n ∞ ;{2n}n =1 y son sucesiones Crecientes n + 1 n =1
∞
Las Sucesiones crecientes , no decrecient es, decrecient es y no crecientes son llamadas SUCESIONES MONOTONAS.
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SUCESIONES ACOTADAS
{a }
∞ n n =1
es una sucesion ACOTADA SUPERIORMENTE, si
∞ n n =1
∃ M ∈ R/ an ≤ M , ∀n ∈ N La Sucesion {a
}
1 ; an = es acotada superiormente por M = 1 n{a }
∞ n n =1
es una sucesion ACOTADA INFERIORMENTE, si
∞ n n =1
∃ m ∈ R/ an ≥ m, ∀n ∈ N La Sucesion {a
}
; an = n n es acotada inferiormente por m = 1
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Se dice que la Sucesion {an }n =1 es ACOTADA, si es acotada
∞
SUPERIOR E INFERIORMENTE, es decir que : ∃ m, M ∈ R/ m ≤ an ≤ M , ∀n ∈ N . n +1 es acotada superiormente por M = 2 2 n einferiormente por m = 0 La Sucesion {an }n=1 ; an =
∞ ∞
La Sucesion {an }n =1 es ACOTADA, si ∃c > 0/ a n ≤ c, ∀n ∈ N
Una sucesión creciente que está acotada superiormente, es convergente. Una sucesión decreciente que esta acotada inferiormente, es convergente.
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LIMITE DE UNA SUCESION Si los terminos de la Sucesion {an }n =1 se aproximan a un numero
∞real L cuando n es cada vez mas grande, se dice que la sucesion tiende a L o converge a L. DEFINICION.
n →∞
lim an = L ⇔ ∀ε > 0 ∃ N 0 ∈ N ; (N 0 (ε ) ) tal que, si n > N 0 Si lim an ∃ es unico.
n →∞
entonces a n − L < ε . CONVERGENC IA DE SUCESIONES Si lim an = L ⇒ la Sucesion {an }n =1 Converge.
∞
Cuando este límite no existe ⇒ la sucesión {an }n =1
∞
n →∞
es divergente.21/06/2011 NOLAN JARA JARA 5
PROPIEDADES
Sean {a n }; {b n }sucesiones Convergentes y : lim an = L1 ; lim bn = L2 ; k : constante ⇒
n →∞ n →∞
1º ) lim(kan ) = k lim an = kL1
n →∞ n →∞
2º ) lim(an ± bn ) = lim an ± lim an = L1 ± L2
n →∞ n →∞ n →∞
3º ) lim(an . bn ) = lim an · lim bn = L1· L2
n →∞ n →∞ n →∞
an lim an L1 4º ) lim = n→∞ = ; L2 ≠ 0 n →∞ b n lim bn L2 n→∞
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LIMITES ESPECIALES sen ( xn ) = 0 ∀x ∈ R. lim n→ ∞ n lim
n n→ ∞
n = 1.
lim sen ( 1 ) n n→∞ lim
(
)
1
n
=1
1 lim 1 + = e n→ ∞ n sen ( 1 ) n =1 lim n→ ∞ 1 n 1 n − =0 lim n→∞ sen ( 1 ) n
n
n→ ∞
1 1 ln = 0 n n
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TEOREMA DEL SANDWICH Si a n ≤ cn ≤ bn ∀n ∈ N ylim an = lim bn = L
n →∞ n →∞
entonces lim cn = L
n →∞
cos1 + cos 2 + L + cos n cn = 2 n Sea {a n } una sucesión convergente tal que lim an = 0 y { b n } una sucesión
n →∞
acotada ⇒ la sucesión {a n .b n } es convergente y lim anbn = 0
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n →∞
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SUB SUCESION Sean a : N → R/a(n) = a n una SUCESION y k : N → N/y = k(n) una funcion creciente, entonces ao k : N → R/(a o k)(n) = a(k(n)) es una SUB SUCESION (a o k)(n) = a(k(n)) = ak n
{2n}
∞ n =1
es una Subsucesion de {n}
∞ n =1
Si una SUCESION es Convergente, entonces cualquier SUB SUCESION , tambien es convergente.Lo reciproco
{(1) } Es una Sucesion Convergente y es una Subsucesion de {(-1) } Pero {(-1) } No es Convergente.
n ∞ n =1 n ∞ n =1 n ∞ n =1
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