Suceciones y series

Series numéricas
8.1. Definición y primeras propiedades
Informalmente, una serie es una suma de infinitos sumandos (ver antecedentes históricos y comentarios
en [APOSTOL1, cap. 10] y en [DURÁN,pág. 184 y sigs.]). Estas sumas se usan implícitamente,
por ejemplo, al considerar desarrollos decimales ilimitados de los números reales: así, la igualdad
73
= 2,333. . . significa
73
= 2+ 3
10
+3
100
+ 3
1000
+. . . ,
suma con infinitos sumandos de la forma 3
10n , n ! N. En general, consideraremos una sucesión cualquiera
(an) y su suma Σ∞n=1 an. ¿Qué sentido habrá que darle a estasuma? La respuesta se impone de
modo natural: Σ∞n=1 an tiene que ser l´ım m"∞
mΣ
n=1
an.
Analizando el proceso anterior, se trata de formar mediante la sucesión de sumandos (an) una
nuevasucesión de sumas (sm) dada por sm = a1 +a2 +···+am, m ! N, y determinar el límite (si
existe) de esta última sucesión. Esquemáticamente:
lugar 1 2 3 4 . . . n . . .
término a1 a2 a3 a4 . . . an . . .suma a1 a1+a2 a1+a2+a3 a1+a2+a3+a4 . . . a1+···+an . . . "?
Ahora bien: si, en definitiva, vamos a parar al estudio de la convergencia de una sucesión, ¿qué
novedad vamos a encontrar respecto a lo queya sabemos de sucesiones? El cambio radica en el punto
de partida: tomando como dato la sucesión de sumandos (an), nos planteamos determinar propiedades
de la sucesión de sumas (sn) basándonos enpropiedades de los términos an. Pasemos a formalizar
estas ideas.
8.1.1. Series: términos y sumas parciales. Series convergentes, divergentes y oscilantes
Definición 8.1.1. Una serie Σ∞n=1 an es unpar ordenado de sucesiones ((an), (sn)) relacionadas por
la condición de que para cada n ! N es
sn = a1+a2+···+an.
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172 Capítulo 8. Series numéricas
El término n-ésimo de la primera sucesión,an, recibe el nombre de término n-ésimo de la serie; el
término n-ésimo de la segunda sucesión, sn, recibe el nombre de suma parcial n-ésima de la serie.
Se dice que la serie Σ∞n=1 an es...