Series y sucesiones

SUCESIONES

 Sucesión es una secuencia ordenada de números u otras cantidades.
Una sucesión se representa como a1, a2..., an... Las a son números o cantidades, distintas entre sí o no; a1 es el primer término, a2 el segundo, y así sucesivamente. Si el último término aparece en la expresión, es una sucesión finita; si no aparece, es infinita. Una sucesión es definida o establecida si y sólo siexiste una regla dada que determina el término n-ésimo correspondiente a un n entero positivo; esta regla puede estar dada por la fórmula del término n-ésimo. Por ejemplo, todos los números enteros positivos, en su orden natural, forman una sucesión infinita definida por la fórmula an = n. La fórmula an = n2 define la sucesión 1, 4, 9, 16... La regla de empezar con 0 y 1 y calcular cada términocomo la suma de los dos términos anteriores define la sucesión 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13..., que se conoce como sucesión de Fibonacci.

LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
 
Dada una sucesión (an  ), se dice que (an  ) tiene por límite I, tiende a l  o converge a l  cuando n tiende a infinito (¥), y se simbolizará
 
                                           
o más simplificadamente                                               (an   ) ® I,
 
si para todo e > 0 tan pequeño como se quiera, existe un subíndice n0 tal que para todo n ³ n0, an   pertenece al entorno (I - e, I + e).

SUCESIONES CONVERGENTES

Se dice que una sucesión de números reales es convergente si sus términos se concentran alrededor de un número real l que se llama límite de la sucesión. Por lo tanto, su representación debe ser un cúmulo depuntos alrededor del límite.

SERIES INFINITAS 
Relacionado con el concepto de sucesión está el concepto de la suma de los términos de la sucesión.
    A la suma de los términos de la sucesión {a(n)} se le llama serie infinita, o simplemente serie.
Si {a(n)} es una sucesión infinita, entonces a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n)+... se llama serie infinita, o simplemente serie. Los números a(1), a(2), a(3),... se llaman términos de la serie.

Serie aritmética
Suma indicada de todos los términos de una serie aritmética. Un ejemplo es el siguiente:
1 + 2 + 3 + . . . + 100
La fórmula general para una serie aritmética es:
Sn | = a1 + a2 + a3 + . . . + an |
| = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + . . . + [a1+(n-1)d] |
| = n(a1 + an)/2 |
| = n[2a1 +(n-1)d]/2 |
En el ejemplo, el primer término,a1, es 1, y el último término, a100, es 100. Utilizando la fórmula, la suma = 100(1+100)/2 = 5050.
Serie geométrica
Suma de una serie geométrica, es decir, una serie a1 + a2 + a3 + ... en la que los términos forman una secuencia geométrica.
La suma de los primeros n términos se puede obtener de la siguiente manera:
Sn | = a1 + a2 + a3 + ...an |
| = a1 + a1r + a1r2 + ... + a1rn-1 |
| =a1 (rn - 1)/(r - 1) |
en la que r es la relación común.
Serie armónica (progresión armónica)
Secuencia de números en la que los recíprocos de todos los términos forman una secuencia aritmética.
Por ejemplo, {1, 1/2, 1/3, 1/4, . . .} es una secuencia armónica, porque los recíprocos de todos los términos {1, 2, 3, 4, . . .} pueden formar una secuencia aritmética.

CRITERIOS DE CONVERGENCIAClasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ( u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de qué tipo es (convergente o divergente).

Condición del resto
Si una serie  es convergente, entonces .
El recíproco no es cierto. El contra recíproco es:
Si  entonces  es divergente.
Esta afirmación es muy útil, yaque nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero.
Demostración:
Por Hipótesis:
Sk = a1 + a2 + ... + ak
 para todo s ε ℝ
Sabemos que Sk − 1 = a1 + a2 + ... + ak − 1 y que  para todo s ε ℝ
Por lo tanto teniendo en cuenta que Sk − Sk −1 = ak entonces 
Queda demostrada la proposición.

Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente

Sea...