Series

Ejercicios de Análisis Matemático
Algunas series cuya suma puede calcularse de forma exacta
Debes tener ya claro que una cosa es estudiar la convergencia de una serie y otra es calcular su
suma. Son relativamente pocas las series convergentes cuya suma se puede calcular de forma exacta.
Aquí vamos a ver algunas de ellas. No debes esforzarte por memorizar fórmulas para sumar series, sino
encomprender y en aplicar los métodos que permiten calcularlas.
X
Series geométricas. Las series de la forma
˛x n donde ˛ 2 R y jxj < 1, cuya suma viene dada por
n>0

1
X

nD0

˛x n D

˛

1

x

.

Series aritmético - geométricas. Son series de la forma

X

p.n/x n donde p es una función polinómica

n>0

de grad0 m > 1. Aplicando el criterio del cociente se obtienefácilmente que estas series convergen
absolutamente si jxj < 1. Es claro que no convergen si jxj > 1 pues entonces fp.n/x n g es una sucesión
no acotada y, por tanto, no converge a 0. Supongamos que jxj < 1 y pongamos:
SD

1
X

p.k/x k D lKm
ı

n!1

kD0

n
X

p.k/x k

kD0



Definamos las diferencias de primer orden de p, que notaremos, 1 p , como el polinomio dado para


todo k 2N por 1 p .k/ D p.k C 1/ p.k/. Observa que 1 p es un polinomio de grado m 1.
Tenemos:
!
n
n
X
X
k
kC1
S xS D .1 x/S D lKm
ı
D
p.k/x
p.k/x
n!1

D lKm
ı

n!1

n 1
X

p.k C 1/

kD0

P1

kD0




p.k/ x

kD0

kC1

C p.0/

p.n/x

nC1

!

D p.0/ C x

1
X

kD0



1 p .k/x k :

Pongamos S1 D kD0 1 p .k/x k . La igualdad anterior nos dice que .1x/S D p.0/ C xS1 . Este
X
procedimiento puede volver a aplicarse a la serie
1 p/.k/x k . De la misma forma obtenemos



k>0




P
ahora .1 x/S1 D 1 p/.0/ C xS2 , donde S2 D 1 2 p .k/x k y 2 p son las diferencias de
kD0
segundo orden de p definidas para todo k 2 N por:






2 p .k/ D 1 p .k C 1/
1 p .k/:


Observa que 2 p es un polinomio de grado m 2.

Repitiendo esteproceso m veces llegaremos a obtener finalmente
Sm D

1
X

kD0






m p .k/x k D

˛
1

x



porque las diferencias de orden m, .m p , de un polinomio de grado m son constantes, .m p .k/ D ˛


para todo k 2 N. Conocido Sm calculamos Sm 1 a partir de la igualdad .1 x/Sm 1 D m 1 p .0/ C
xSm . A partir de Sm 1 podemos calcular Sm 2 , etcétera, hasta llegar a obtener finalmenteel valor de
S.
P
Series hipergeométricas. Consideremos una serie an de términos positivos tal que para todo n 2 N
es:
anC1
˛n C ˇ
D
;
.˛ > 0; ˇ;
2 R/:
an
˛n C
Dpto. de Análisis Matemático

Universidad de Granada

Ejercicios de Análisis Matemático

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Escribiendo esta igualdad para n D k en la forma:
˛kakC1 C
akC1 D ˛kak C ˇak
y sumando desde k D 1 hasta k D n seobtiene:
˛nanC1 C
.anC1 C Sn
Donde Sn D

n
X

a1 / D ˛Sn C ˇSn :

(1)

ak . Supuesto que la serie sea convergente y que su suma es S D lKmfSn g, se deduce
ı

kD1

de la igualdad anterior que la sucesión fnanC1 g también converge y necesariamente su límite debe ser
cero (si fuera nanC1 !  > 0 se tendría que an   lo que implicaría que la serie diverge).
n
Aplicando el criteriode Raabe se obtiene fácilmente que la serie converge si
> ˛ C ˇ y diverge
si
< ˛ C ˇ. También diverge si
D ˛ C ˇ porque en tal caso se deduce de la igualdad 1 que:
˛nanC1 C
anC1


a1 D 0 ÷

anC1 D


a1
˛n C

y, por comparación con la serie armónica, se sigue que la serie diverge.
Supuesto que,
> ˛ C ˇ, y tomando límites en la igualdad 1 deducimos que:

S


a1 D˛S C ˇS

÷ SD




a1
:
˛ ˇ

X P .n/
donQ.n/
de P y Q son funciones polinómicas. A partir de un cierto término en adelante, dichas series tienen todos sus términos positivos o todos negativos (según que lKmx!C1 P .x/Q.x/ D C1 o que
ı
lKmx!C1 P .x/Q.x/ D 1). Estas series convergen absolutamente cuando el grado del denominaı
dor es al menos dos unidades mayor que el grado del...