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CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER


La convergencia de la Serie de Fourier involucra tres aspectos distintos y fundamentales:

1) Que existan y puedan hallarse los coeficientes genéricos an y bn lo cual resulta obvio porque de lo contrario no sólo no habrá convergencia sino que no habrá serie.

2) Que exista la serie, lo cual requiere además de la existencia de los coeficientes,que pueda expresarse la función por una sumatoria infinita de términos.

3) Que la función desarrollada en serie de Fourier pueda, además, aproximarse por un número finito de términos. Esto significa que puedan despreciarse el resto de los términos, a partir de un valor del índice “n” determinado y sin embargo la función así expresada se aproxime lo suficiente a la original.

Todos estosaspectos que definen si una serie es o no convergente, han sido estudiados y reunidos en las Condiciones de Dirichlet*, que sirven para establecer analíticamente la convergencia de Fourier.

* Matemático alemán llamado Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

En realidad, Dirichlet estableció dos condiciones distintas, que se conocen como fuerte y débil, respectivamente.


Condición débil:Esta primera condición se denomina así porque es necesaria pero no suficiente. Debe cumplirse necesariamente para que la serie sea convergente, pero no garantiza que lo sea.

En realidad, la condición débil versa acerca de la existencia de los coeficientes, fijando las condiciones matemáticas que deben cumplirse para que aquellos existan. Dado que los coeficientes genéricos de Fourier vienendefinidos a través de una integral, el hecho de que existan implica que la integral sea finita.

Por lo tanto, la condición débil procura que la integral que define a los coeficientes genéricos sea finita.

Siendo:

an = 1/π ⌠π f(t) cos nt dt
⌡-π

Debería ser:

⌠π f(t) cos nt dt < ∞
⌡-π

Pero, en realidad, en el integrando la función coseno está acotada entre -1 y 1,por lo tanto su incidencia en el hecho de que toda la integral sea finita es muy relativa, sólo deberá serlo la integral del valor absoluto de f(t), por lo tanto:


⌠π |f(t)| dt < ∞
⌡-π

es lo que debería cumplirse para garantizar la existencia de los coeficientes, dado que el valor de la función coseno en el integrando (o la del seno en el caso del coeficiente bn)no modificarían el resultado de esta condición, dado que sólo podrían afectar a f(t) por un número menor o igual a la unidad, o cambiarla de signo.

Sin embargo, más usual y sencilla de evaluar que esta integral es otra similar, donde se reemplaza el valor absoluto de f(t) por su cuadrado, que cumple el mismo objetivo de prescindir del signo, entonces:

⌠π [ f(t)]2 dt < ∞⌡-π

Esta es en definitiva la condición débil de Dirichlet, que asegura sólo la existencia de los coeficientes an y bn .


El problema es que existen algunas funciones, como por ejemplo las funciones impulsivas, para las cuales esta condición se cumpliría sin problema, dado que la integral de un impulso es un valor finito, porque el área bajo la curva de un impulso es finita, pero suvalor instantáneo es infinito.

Las funciones desarrolladas en serie de Fourier a partir de términos que resultan ser funciones impulsivas, no son convergentes. Vale decir que cumplen con la condición débil y sin embargo no dan lugar a una serie convergente. Por eso esta condición es necesaria pero no suficiente.


Condición fuerte:

Esta condición establece algunas restriccionesadicionales, que entonces la convierten en necesaria y suficiente.

La condición fuerte establece:

“Para que una serie de Fourier sea uniformemente convergente, la función desarrollada f(t) debe permanecer finita y tener un número finito de máximos y mínimos”.

La primera parte de la condición restringe claramente la posibilidad de desarrollar funciones impulsivas, dado que estas tienen valores...