series

Introduccion

este tema se basa en el uso de los numeros para llegara determinada cantidad en un lapso de tiempo
o sabercuantos numero hay en determinado lapso de numeros sin la necesidad de escribir todos ellos solo con el uso de formulas podemos llegar a esa cantidad buscada.

Sucesiones numéricas


Es una secuencia lógica de números ya que puede ser creciente o decreciente. Las hay enprogresión aritmética o progresión geométrica, la diferencia básica es que en la aritmética la razón de cambio entre un miembro y otro es la suma o resta de la misa razón, es decir:
0,1,1,2,3,5,8,13, es la serie o sucesión de Fibonacci, que se logra sumando los dos números anteriores, 0+1= 1, 1+1=2, 1+2=3, etc.

http://www.youtube.com/watch?v=k2NZcj2fkzI&feature=related


En la sucesióngeométrica el número siguiente de la sucesión se logra por multiplicar o dividir la razón de cambio.
En cualquier caso la razón de cambio es constante y no puede variar, a menos que el cambio de la razón también corresponda a una sucesión, así podríamos tener una sucesión dentro de otra sucesión.
Una sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los naturales en los reales, es decir :\begin{matrix} u:& \mathbb{N} & \to & \mathbb{R} \\ & n & \to & u_n \end{matrix}

que escribiremos simplemente como \left\{{u_n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} o, si se da por entendido que los subíndices son enteros, también vale \left\{{u_n}\right\}_{n \geq 0}.
El nombre que recibe la sucesión también puede hacer referencia a los valores que toma sobre los reales, así, si la imagen de u_{}^{}fuesen los racionales, es decir fracciones enteras del tipo \frac{a}{b}, \; b \neq 0, podemos llamarla sucesión de números racionales, y lo mismo para los irracionales, naturales, enteros, algebraicos, trascendentes, ... .
Una sucesión en \mathbb{R} es una enumeración de números reales , es decir una aplicación de \mathbb{N} en \mathbb{R}.
Sucesiones Acotadas
Una sucesión \{a_n\}, \ a_n \in\mathbb{R}, está acotada cuando,
\exists c \in \mathbb{R}, c > 0 : |a_n| \leq c, \forall n \in \mathbb{N}
Sucesiones Convergentes
Una sucesión \{a_n\}, \ a_n \in \mathbb{R}, converge a a o tiene por límite a (cuando n \rightarrow \infty), y se escribe,
\lim_{n} a_n = a
cuando,
\forall \epsilon \in \mathbb{R}, \epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} : |a_n - a| < \epsilon, \forall n \geq n_0, n\in \mathbb{N}
Unicidad del límite de una Sucesión
Si una sucesión \{a_n\}, \ a_n \in \mathbb{R} converge, entonces el \lim_{n} a_n es único.
Relación entre el concepto de sucesión acotada y el de sucesión convergente
Si una sucesión \{a_n\}, \ a_n \in \mathbb{R} es convergente, entonces está acotada.
Notas y ejemplos básicos
Para definir término a término la sucesión, se indica para cadatérmino el valor que le corresponde directamente:

El primero es u_0^{}= a por ejemplo 3,
el segundo es u_1^{}= a por ejemplo -10,
el tercero es u_2^{}= a por ejemplo 9, y así sucesivamente.
Para indicar, si hace falta, el comportamiento del resto de los valores, se usa el término general y se escribe acompañado como , \; ... \; ,u_n^{}= a por ejemplo número alazar, ... .

Los puntos suspensivos dan por entendido que los valores de la sucesión se omiten ya que estos quedan claramente determinados hasta el infinito, siendo el n-ésimo valor, u_n^{}=, el portador del método para generar el valor de cada término, y el nombre n_{}^{} puede ser cambiado, si hace falta, por i_{}^{}, j_{}^{}, k_{}^{}, l_{}^{}, ... .

Materialmente seria: 3, -10, 9, 7,... , número al azar, ... .
Sucesión finita
Diremos que una sucesión es finita si determinamos su último término, por ejemplo el n-ésimo:

Genéricamente: a_0, \; a_1, \; a_2, \; ... \; , \; a_i , \; ... \; , \; a_n , donde a_i^{} sería el término general si hiciese falta.

ejemplo: 100, 99, 98, ... , 1, 0.

Sucesión constante
Diremos que una sucesión es constante si todos los...