Series
Páginas: 2 (465 palabras)
Publicado: 6 de diciembre de 2012
SERIES INFINITAS DE TÉRMINOS NUMÉRICOS
(llamada también: SERIES INFINITAS DE TÉRMINOS CONSTANTES)
Definición. Si
es una sucesión y
Entonces la sucesión
se llama SERIE INFINITA.Teorema (I) Sea una serie infinita dada, y sea la sucesión de sumas parciales que definen esta serie infinita. Entonces, si existe y es igual a S, decimos que la serie dada es CONVERGENTE y que S es la sumade la serie infinita dada. Si no existe se dice que la serie es DIVERGENTE y la serie no tiene suma.
Teorema (II) Si la serie infinita
es convergente, entonces
IMPORTANTE: El recíproco deeste teorema no es válido, es decir, toda serie cuyo límite al infinito sea cero no necesariamente es convergente.
Ejercicios. 1.- Demostrar que
Determinamos el límite:
es una serie divergente.la serie es divergente
2.- Determinar si
Esta serie puede ser Convergente o Divergente, no podemos concluir.
Definición. Si , entonces
Ejemplo: Dada la serie infinita, determine unafórmula para
en términos de:
Determinamos términos de la secuencia de sumas parciales
debe ser expresados en términos de n.
. Determinamos
.
Por fracciones parciales:
Como
Si
lasuma total de la serie es 1 (Converge)
Teorema (III) La diferencia de dos sumas parciales de una serie convergente se puede hacer tan pequeña como queramos, tomando R y T lo suficientementegrandes.
Veamos:
Hacemos la diferencia:
Esta diferencia al contrario, aumentará indefinidamente, por lo tanto,
es divergente.
SERIE ARMÓNICA Forma General:
Característica importante: Deacuerdo al teorema (III) esta serie es Divergente.
SERIE GEOMÉTRICA Forma General:
Donde:
son constantes.
La suma de la serie armónica viene dada por: De la identidad:
Tenemos:Convergencia y divergencia de la serie geométrica Teorema (IV)
Ejemplo: Analizar
Podemos escribir esta serie así:
Tenemos que
, entonces la serie geométrica converge.
Teorema (V) Si son dos...
(llamada también: SERIES INFINITAS DE TÉRMINOS CONSTANTES)
Definición. Si
es una sucesión y
Entonces la sucesión
se llama SERIE INFINITA.Teorema (I) Sea una serie infinita dada, y sea la sucesión de sumas parciales que definen esta serie infinita. Entonces, si existe y es igual a S, decimos que la serie dada es CONVERGENTE y que S es la sumade la serie infinita dada. Si no existe se dice que la serie es DIVERGENTE y la serie no tiene suma.
Teorema (II) Si la serie infinita
es convergente, entonces
IMPORTANTE: El recíproco deeste teorema no es válido, es decir, toda serie cuyo límite al infinito sea cero no necesariamente es convergente.
Ejercicios. 1.- Demostrar que
Determinamos el límite:
es una serie divergente.la serie es divergente
2.- Determinar si
Esta serie puede ser Convergente o Divergente, no podemos concluir.
Definición. Si , entonces
Ejemplo: Dada la serie infinita, determine unafórmula para
en términos de:
Determinamos términos de la secuencia de sumas parciales
debe ser expresados en términos de n.
. Determinamos
.
Por fracciones parciales:
Como
Si
lasuma total de la serie es 1 (Converge)
Teorema (III) La diferencia de dos sumas parciales de una serie convergente se puede hacer tan pequeña como queramos, tomando R y T lo suficientementegrandes.
Veamos:
Hacemos la diferencia:
Esta diferencia al contrario, aumentará indefinidamente, por lo tanto,
es divergente.
SERIE ARMÓNICA Forma General:
Característica importante: Deacuerdo al teorema (III) esta serie es Divergente.
SERIE GEOMÉTRICA Forma General:
Donde:
son constantes.
La suma de la serie armónica viene dada por: De la identidad:
Tenemos:Convergencia y divergencia de la serie geométrica Teorema (IV)
Ejemplo: Analizar
Podemos escribir esta serie así:
Tenemos que
, entonces la serie geométrica converge.
Teorema (V) Si son dos...
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