Simbolos

Fractal
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En la naturaleza también aparece la geometría fractal, como en esta romanescu.
Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.[1] El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebradoo fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero.
Si bien el término "fractal" es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Las maneras más comunes de determinar lo que hoy denominamosdimensión fractal fueron establecidas a principios del siglo XX en el seno de la teoría de la medida.

Dimensión fractal
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Ejemplo de estimación de la dimensión de Hausdorff-Besicovitch para la costa de gran Bretaña.
En geometría de fractales, la dimensión fractal, es un número real que generaliza el concepto de dimensiónordinaria para objetos geométricos que no admiten espacio tangente.
La dimensión fractal es un exponente que da cuenta de cuán completamente parece llenar un fractal el espacio conforme se amplía el primero hacia escalas más y más finas. No existe una única dimensión fractal sino una serie de dimensiones que frecuentemente resulta equivalentes pero no siempre. Entre estas definiciones está la dimensiónde Hausdorff-Besicovitch, la dimensión de la dimensión de empaquetamiento, la dimensión de homotecia y las dimensiones de Rényi. Ninguna de estas dimensiones debería ser tratada como universal, ya que a veces la discrepancia entre ellas está asociada a diferencias en la estructura interna del fractal. Aunque para un buen número de fractales clásicos los valores de las diferentes definiciones dedimensión fractal todas estas dimensiones coinciden, en general no son equivalentes.
En la práctica algunas definciones de dimensión fractal resultan más sencillas de calcular, y por eso son más ampliamente usadas, aunque no siempre tienen las propiedades matemáticas más deseables. Por ejemplo la dimensión de conteo de cajas o de dimensión Minkowski-Bouligand y la dimensión de correlación sonampliamente usadas en la práctica, por su fácil implementación algorítmica.
Por ejemplo, la dimensión del copo de nieve de Koch tiene una dimensión topológica de uno, pero no puede ser tratada como una curva; la longitud entre cualesquiera dos puntos en el fractal (dada por la medida de Lebesgue) es infinita. Ningún segmento del fractal tiene parecido a una línea, pero tampoco tiene parecido a unaparte de un plano. En cierta forma se podría decir que es demasiado grande para poder ser considerada como un objeto unidimensional, pero es demasiado fina para ser considerada un objeto bidimensional. Esto lleva a la pregunta de si su dimensión se describe mejor con un número entre uno y dos. Ésta es una manera simple de motivar la idea de dimensión fractal.
Relación entre dimensiones fractalesPara algunas de las anteriores dimensiones fractales ha podido probarse la siguiente serie de desigualdades:

Donde:
es la dimensión topológica que es siempre un entero.
es la dimensión de Minkowski-Bouligand o de conteo de cajas, a veces llamada dimensión de Hausdorff.
es la dimensión de entropía o dimensión de Kolmogórov.
es la dimensión de correlación.
es la dimensión de Rényi de parámetro.
es la dimensión de empaquetado.
es la dimensión de Hausdorff-Besicovitch que para los fractales clásicos suele ser un número irracional.
es la dimensión del espacio euclídeo que contiene al fractal que también es un número entero.
Algunas aclaraciones:
* La primera desigualdad se conoce como desigualdad de Szpilrajn y es uno de los principales resultados de la geometría fractal.[5]...