SIMPLIFICACION DE TRANSLACION

SIMPLIFICACIÓN DE ECUACIONES POR TRASLACIÓN DE EJES

En los ejemplos anteriores, puede observarse que la transformación de las ecuaciones aplicando traslación de ejes, conduce a otras ecuacionesmás simples, sin alterar los lugares geométricos, es decir, dada la ecuación de una curva, es posible hallar un nuevo sistema de ejes tal que nos proporcione otra ecuación más sencilla, los siguientesejemplos nos muestran su aplicación.

3. Simplificar la ecuación x2 + y2 - 10x + 4y - 7 = 0 haciendo que los términos de primer grado se anulen.
Solución:
Sustituyendo x = x' + h e y = y' + ken la ecuación dada se obtiene:
(x' + h)2 + (y' + k)2 - 10(x' + h) + 4(y' + k) - 7 = 0
Desarrollando términos
x'2 + 2x'h + h + y'2 + 2y'k + k - 10x' - 10h + 4y' + 4k - 7 = 0


Para que x' y y' seanulen es necesario que sus coeficientes sean cero, es decir
2h -10 = 0  h = 10/2  h = 5
2k + 4 = 0 k = - 4/2  k = -2
Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior se tiene:
x'2 + x'(10-10 ) + y'2 + y'(-4 + 4) + 25 + 4 - 50 - 8 - 7 = 0
x'2 + y'2 - 36 = 0
x'2 + y'2 = 36 Ecuación de la circunferencia con centro en el nuevo origen.
La ecuación obtenida es del tipo x2 + y2 = r2,comparando términos se tiene:
r2 = 36  r = 6
Coordenadas del nuevo centro O’(5 , -2).

Otra forma de resolver el problema seria esta:
De la ecuación dada x2 + y2 - 10x + 4y - 7 = 0, complete loscuadrados en x e y como se ilustra a continuación:
(x2 - 10x + 25 - 25) + (y2 + 4y + 4 - 4) = 7
(x - 5)2 + (y + 2)2 = 7 + 25 + 4
x2 - 10x + 25 + y2 + 4y + 4 = 36 quedando:
(x - 5)2 + (y + 2)2 = 36,haciendo x - 5 = x' e y + 2 = y', la ecuación anterior se transforma en x'2 + y'2 = 36.
Observe que el origen del sistema al cual queda referida la ecuación, tiene por coordenadas (5 , -2) ya que esde la forma (x - h)2 + (y - k)2 = r2, lo que coincide con la primera solución.

4. Transformar la ecuación x2 - 2xy + y2 - 8x - 8y = 0, girando los ejes un ángulo de 45°.
Solución:
Sustituyendo...