Sistemas de ecuaciones lineales con dos incognitas

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

El estudio de sistemas de ecuaciones lineales es un problema clásico de las matemáticas. Cuando se trata de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, se aplican diversos métodos de resolución sencillos de tipo gráfico y analítico; si el número de ecuaciones es superior (más de dos), es preferible recurrir al empleo dematrices y determinantes.
Tipos de sistemas
En el análisis de un sistema de ecuaciones lineales se pueden presentar varios casos:
Si el sistema tiene solución, y ésta es única, se denomina compatible determinado.
Cuando presenta varias soluciones posibles, es compatible indeterminado.
Si no tiene solución, se denomina imposible o incompatible.
Dos sistemas de ecuaciones lineales que tienenlas mismas soluciones son equivalentes.












Clasificamos los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
Compatible Determinado Compatible Indeterminado Incompatible
a) 2 x + y = 6
2 x - y = 2
b) x + y = 3
2 x + 2 y = 6
c) x + y = 3
x + y = - 1









Para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dosincógnitas podemos utilizar uno de los siguientes métodos:
1. Método de Sustitución
2. Método de Igualación
3. Método de Reducción por suma y resta (o de eliminación)
4. Método de Determinantes (el menos utilizado)
5. Método Grafico
Método de sustitución
La técnica algebraica denominada método de sustitución, para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, consiste en despejaruna incógnita en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra; así, se obtiene una sola ecuación con una incógnita. Una vez obtenido el valor de esta incógnita, se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema, inicial para calcular el valor de la otra incógnita.
Tenemos que resolver el sistema:

1er Paso: Despejamos una de las variables “x o y” en una de las ecuaciones (eneste caso elegimos y en la primera ecuación):

2do Paso: Reemplazamos en la otra ecuación la incógnita despejada:

Operamos para hallar la única variable existente ahora:

3er Paso: Reemplazamos el valor de la incógnita hallada “x” obtenida, en alguna de las ecuaciones (elegimos arbitrariamente la primera), para hallar la segunda incógnita.

Hallamos la respuesta x=4, y = 2Realicen este mismo ejemplo despejando x al comienzo y reemplazando en las dos ecuaciones.
Resuelvan a continuación y no olviden verificar:

Método de igualación
Una técnica algebraica común para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es el método de igualación. Este método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes; seresuelve la ecuación de primer grado con una incógnita obtenida y se sustituye este valor en las ecuaciones iniciales.
x + 3.y = 10
2.x + 5.y/4 = 1
1er Paso: Se despeja la incógnita "x o y" de cada una de las ecuaciones dadas, en este caso “x”.




2do Paso: Igualamos las incógnitas "x" luego resolvemos la ecuación.




3er Paso: Reemplazamos la incógnita "y", en cualquierade las 2 ecuaciones despejadas para obtener el valor de la incógnita "x".






Por último, el conjunto solución es: (- 2 ; 4).
Ejercicios
5.x - y = 9
2.x + 4.y = 8
R: [2; 1]
 
5.x - y = 1/2
2.x + 3.y = -10
R: [-1/2; -3]
 
2.x - 4.y = -7
x + 8.y = -1
R: [-3; 1/4]
 
-3.x + 15.y = 59
3.x + 4.y = 17
R: [1/3; 4]
 
-3.x - 4.y = 5
-x - 2.y = 2
R: [-1; -1/2]
 
3.x - 5.y = 192.x + y = 4
R: [3; -2]
 
x/5 - y/2 = 1,3
2.x - y = 1
R: [-1; -3]
 
3.x - y = -1/2
4.x/5 + 3.y = 6,4
R: [1/2; 2]
 


2.x - y/2 = -9,5
3.x/5 + y = -4
R: [-5; -1]
 
x/3 - y = -3
-4.x - y/2 = 11
R: [-3; 2]

3.x + 2.y = -10
2.x - 10.y = -1
R: [-3; -1/2]
 
3.x - 2.y = 5
-3.x + 4.y = -9
R: [1/3; -2]
 Método de reducción por suma o resta (o de eliminación).
La tercera...