Sistemas dinamicos de primer orden

COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

FACULTAD DE QUÍMICA. UNAM

Dinámica y Control de Procesos.

3.1- SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
El proceso cuyo comportamiento dinámico está modelado por la ecuación diferencial de primer orden de la forma:

a1

dy  a0 y  bu (t ) dt

(3.1)

Donde y(t) representa la variable de salida y u(t) lavariable de entrada. Reordenando la ecuación (3.1), podemos obtener:



dy  y  Ku (t ) dt
a0  0 ,
podemos observar los nuevos parámetros

(3.2)

Donde, para

Ky 

estan dados por:

K  b / a0

  a1 / a0
De acuerdo con el módulo anterior, correspondiente a la ecuación (3.2) sería: la transformada de Laplace

 K  y( s)   u ( s)  s  1 

(3.3)

Entonces, la ecuaciónde transferencia del sistema g(s), estaría dado por:

 K  g ( s)     s  1 

(3.4)

El cual corresponde a un sistema de primer orden, al tener el valor de 1 el exponente de la variable s.
Se le denomina polo al valor que de adoptarse en la variable s en una ecuación de transferencia, arrojaría resultado infinito o división sobre cero, y cero a la expresión que sustituida de lamisma manera, devolvería un valor de cero.

En diagrama de bloques (modelos entrada-salida), estas operaciones se representan como:

u(s)

g(s)

y(s)

Como parámetros característicos de este sistema, se tiene a K la cual se define como la ganancia en el estado estable y  es la constante de tiempo.

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La ecuación detransferencia (3.4) como puede verse, posee un polo en

s  1 / 

y no posee ceros.

3.2.- EJEMPLOS FÍSICOS DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Reconsideremos el problema del tanque estudiado en el módulo pasado.

Figura 1.Tanque receptor de líquido

En donde se obtuvo el modelo matemático.

dy c 1  y u dt Ac Ac

(2.4)

Observe que el modelo obtenido en la ecuación (2.4) es unaecuación diferencial de primer orden, de manera que, tomando en cuenta que

y(s)  g (s)u(s)

y transformando la ecuación (2.4) obtenemos:

y( s) 1/ c  g ( s)  u ( s) ( Ac / c) s  1

(3.5)

De tal manera, que sus parámetros

Ky

corresponden a:

K  1/ c

y

  Ac / c

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3.3.- RESPUESTA DE LOS SITEMAS DEPRIMER ORDEN A VARIAS ENTRADAS (INPUTS)
Entrada de tipo escalón

Cuando a un sistema de primer orden se le aplica una entrada (input) del tipo escalón de magnitud A, la respuesta dinámica esta dada por:

y(s) 

K A s  1 s

(3.6)

En donde podemos observar que la función de entrada u(s) adopta bajo estas consideraciones la función del tipo escalón, según el módulo anterior, correspondea:

u ( s) 

A s

La antitransformada de Laplace de la ecuación (3.6) y por consecuencia, la solución de la ecuación diferencial en este caso es:

y(t )  AK (1  e t /  )
Como características de esta función se puede observar que:

(3.7)

1.- De acuerdo al teorema del valor final, al aplicar un escalón el nuevo valor en estado estable será:

 K A lim y(t )  lim sy( s)  s  AK t  s 0  s  1 s 
Estas sencillas reglas ahorran mucho tiempo de cálculo, por lo que se recomienda memorizarlas. Es responsabilidad del alumno demostrarlas matemáticamente.

(3.8)

Como puede observarse, el valor de K determina la razón entrada – salida en la respuesta dinámica de este proceso, por ello se le llama ganancia. 2.- Cuando

t 

,

y(t )  0.632 AK .

Asímismo, cuando se está casi a

punto de alcanzar la respuesta final del proceso (99% de respuesta), se puede calcular el tiempo justo antes de que esto ocurra, considerando que

t  4.6

3.- La pendiente del gráfico de respuesta, puede calcularse por medio de:

AK  dy       dt  t 0

(3.9)

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Figura...