Sistemas De Primer Y Segundo Orden

Estudio de sistemas de primer y segundo orden

1.

Objetivo

Estudiar e implementar sistemas de primer y segundo orden. Implementar una ecuación integrodiferencial mediante amplicadores operacionales.
2.
2.1.

Soporte teórico de la practica
Sistemas de primer orden

Se puede denir el comportamiento dinámico de un sistema mediante la representación matemática de un sistema linealdiferencial o ecuación diferencial de primer orden de entrada u(t) y salida y(t) al sistema regido por la ecuación diferencial de la forma
dy(t) + a0 y(t) = bf (t) dt donde f (t) es la entrada del sistema. Si a0 es diferente de 0. a1 a1 dy(t) b + y(t) = f (t) a0 dt a0

(2.1)

(2.2)

Si se dene como obtiene

a1 a0

=τ ya

b a0

= k y se sustituye en la ecuación 2.2 se

τ

dy(y) +y(t) = kf (t) dt

(2.3)

1

[5].

donde τ es la constante de tiempo del proceso, y k la ganancia del proceso

Un sistema de primer orden se caracteriza por responder en un tiempo determinado por una constante de tiempo τ , la cual hace referencia, al tiempo en el cual la respuesta del sistema alcanza un factor de 0.63 del valor nal en estado estacionario o de régimen permanente, anteuna entrada de tipo escalón de magnitud k. La constante de tiempo esta directamente relacionada con los elementos que componen cada sistema en particular. Los sistemas de primer orden son los más frecuentes en los procesos de la industria alimentaria, por ello su estudio es de gran importancia. Estos sistemas se caracterizan por: 1. Su capacidad de almacenar materia, energía o cantidad demovimiento. Esta capacidad está directamente relacionada con la ganancia del proceso. 2. Una resistencia asociada con el caudal de materia, energía o cantidad de movimiento. Esta resistencia o inercia viene dada por la constante de tiempo. En la práctica se encuentran múltiples sistemas que pueden ser representados mediante una ecuación diferencial de primer orden. Esta es una de la aproximaciones mássencillas que se puede hacer para describir el comportamiento dinámico de un sistema, ejemplos físicos típicos de un sistema de este tipo son:
2.1.1. Circuito RL

El circuito eléctrico RL como el de la gura 2.1.1, que esta regido por la ecuación diferencial de la forma
R dI E +I = L dt R

Considerando la señal de entrada como la tensión aplicada al sistema, y la señal de salida, la corriente Ique circula por el circuito, se tiene un sistema 1 de primer orden donde la ganancia estática es R y la constante de tiempo es
R . L

2

Figura 2.1: Circuito RL
2.1.2. Circuito RC

Otro sistema de primer orden fácilmente reconocible es el circuito eléctrico RC.

Figura 2.2: Circuito RC El circuito descrito en la gura 2.1.2 es un circuito clásico de carga de un condensador, a través deuna resistencia, con la siguiente ecuación diferencial
RC dq + q = CE dt

La ganancia estática es C, puesto que Q es, en régimen permanente, la E capacidad del condensador. La constante de tiempo es RC. 3

2.1.3.

Termómetro de mercurio

Un termómetro puede considerarse como un sistema en el que la señal de entrada u es la temperatura del medio en el cual se encuentra inmerso y la señalde salida y es la temperatura indicada por el mismo. Denotando Q la cantidad de calor intercambiada entre el medio y el termómetro, y C la capacidad caloríca de la ampolla, se tendrá la ecuación representativa
dQ dy =C dt dt

Por otra parte el ujo de calorías que entra en el mercurio se aporta fundamentalmente por conducción. De acuerdo con la ley de Newton es aproximadamente proporcional ala diferencia de temperatura entre el medio y el mercurio
dQ = k(u − y) dt

las dos ecuaciones que representan un termómetro de mercurio, pueden considerarse como un sistema lineal de primer orden, la ganancia estática es k.

Figura 2.3: Termómetro 4

2.1.4.

Audiómetro

Se trata de medir la fuerza u por el desplazamiento y que imprime a un audiómetro de coeciente de elasticidad k y...