Sistemas lineales de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones lineales

Indice general
1. Sistemas de ecuaciones lineales 2
2. M´etodo de sustituci´on 5
3. M´etodo de igualaci´on 9
4. M´etodo de eliminaci´on 13
5. Conclusi´on 16

1
Sistemas de ecuaciones lineales
En este documento estudiaremos sistemas de ecuaciones lineales 2 × 2, es decir, de dos
ecuaciones y dos inc´ognitas. Estos sistemas tienen la siguiente forma:a11 x + a12y = b1
a21 x + a22 y = b2
Sistema de ecuaciones lineales
El problema a resolver es encontrar el valor de las inc´ognitas x, y tales que las dos
ecuaciones sean verdaderas.
En un sistema de ecuaciones lineales siempre tenemos solo uno de los tres casos siguientes:
1. El sistema tiene una ´unica soluci´on.
2. El sistema no tiene soluci´on.
3. El sistema tiene m´as de una soluci´on(infinidad de soluciones).
Los m´etodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales se ver´an a continuaci´on,
sin embargo, todos ellos nos deben de dar la misma soluci´on.
Antes de revisar los m´etodos podemos mencionar un criterio que nos permitir´a saber
si el sistema tiene ´o no, una ´unica soluci´on:
El sistema
a11 x + a12y = b1
a21x + a22y = b2
tiene una ´unica soluci ´on si y s´olo si
a11 a22 − a12 a21 6= 0
Soluci´on ´unica
Si a11a22 − a12a21 = 0, y
1. a11, a12, b1 son m´ultiplos de a21, a22, b2, respectivamente. Entonces el sistema tiene
una infinidad de soluciones.
2. a11, a12 son m´ultiplos de a21, a22 respectivamente, pero b1 no lo es de b2. Entonces
el sistema no tiene soluci´on.
Ejemplos:
Ejemplo 1 Consideremos el sistema
2x + 3y = 1
3x − y = −1
como(2)(−1)−(3)(3) = −2−9 = −11 6= 0, entonces el sistema tiene una ´unica
soluci´on.
Ejemplo 2 Consideremos el sistema
3x + 4y = 4
6x − 2y = 2
como (3)(−2) − (6)(4) = −6 − 24 = −30 6= 0, entonces el sistema tiene una
´unica soluci´on.
Ejemplo 3 Consideremos el sistema
2x + y = 6
4x + 2y = 1
como (2)(2)−(4)(1) = 4−4 = 0, entonces el sistema NO tiene una ´unica soluci´on,
pero como 4x+2y es eldoble de 2x+y, pero 1 no es el doble de 6, el sistema NO
tiene soluci´on.
Ejemplo 4 Consideremos el sistema
3x − 3y = 2
x − y = 5
como (3)(−1) − (−3)(1) = −3 + 3 = 0, entonces el sistema no tiene una ´unica
soluci´on. Y como la primera ecuaci´on es el triple de la segunda, pero 2 no es el
triple de 5. Tenemos que el sistema no tiene soluci´on.
Ejemplo 5 Consideremos el sistema
1
2
x +1
3
y = −3
3
2
x + y = −1
como (
1
2
)(1) − (
1
3
)(
3
2
) = 0, entonces el sistema NO tiene una ´unica soluci´on. Y
como la segunda ecuaci´on es el triple de la primera, incluyendo la constante, por
lo tanto el sistema tiene una cantidad infinita de soluciones.

2
M´etodo de sustituci ´on
El m´etodo de sustituci´on trabaja de la siguiente manera:
1. De la primera ecuaci´onse despeja una inc´ognita, digamos x.
2. Se sustituye la inc´ognita despejada en la segunda ecuaci´on.
3. Se reduce la segunda ecuaci´on, y se encuentra el valor de y.
4. Finalmente se sustituye el valor de y, en la ecuaci´on del paso 1, y se encuentra x.
Es posible cambiar de inc´ognita.
Ejemplos:
Resolver el sistema
x + y = 1
x − y = 1
Ejemplo 2.1
Paso 1 Despejamos de la primeraecuaci´on a x, entonces x = 1 − y.
Paso 2 Sustituimos a x = 1 − y, en la segunda ecuaci´on:
x − y = 1
(1 − y) − y = 1
Paso 3 Reducimos la ecuaci´on anterior:
(1 − y) − y = 1
1 − 2y = 1
1 − 1 = 2y
0 = 2y
de donde y = 0.
Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = 0, en la ecuaci´on del paso 1, x = 1−y. Entonces
x = 1 − (0) = 1.
Paso 5 Por tanto la soluci´on del sistema es:
x = 1
y = 0
Resolverel sistema
2x + y = 3
3x + 2y = 2
Ejemplo 2.2
Paso 1 Despejamos de la primera ecuaci´on a x, entonces x =
3 − y
2
.
Paso 2 Sustituimos a x =
3 − y
2
, en la segunda ecuaci´on:
3x + 2y = 2
3(
3 − y
2
) + 2y = 2
Paso 3 Reducimos la ecuaci´on anterior:
3(
3 − y
2
) + 2y = 2
9
2
−
3
2
y + 2y = 2
9
2
+
1
2
y = 2
1
2
y = 2 −
9
2
1
2
y = −
5
2
y = −5
de...