Sistemas

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Notación Sigma
Los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita.
Dada una sucesión: 

Ésta se puede representar como la suma de los  primeros términos con la notación de sumatoriao notación sigma. El nombre de esta notación se denomina de la letra griega  (sigma mayúscula, que corresponde a nuesta S de "suma" ). La notación sigma es de la siguiente manera: 

La ecuación anterior se lee la "suma de  desde  hasta ." La tetra k es el índice de la suma o variable de la sumatoria y se reemplaza k en la ecuación después de sigma, por los enteros , y se suman las expresiones que resulten,con lo que resulte del lado derecho de la ecuación.
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Ejemplos
Ejemplo # 1

Calcule la siguiente Serie:

Solucion:

Ejemplo # 2

Solucion:

Ejemplo # 3

Solucion:

Ejemplo # 4

Solucion:

Ejemplo # 5
Exprese cada suma en notacion sigma:

(a) 

Solucion:

ejemplo
(b)

Solucion:

Sin embargo, no hay forma unica deescribir una suma en notacion sigma tambien la podemos representar de la siguiente manera:

Solucion

(a)

En realidad debiste haber escrito

. n
. Σ k³
k=1

o también

.n
.Σ i³
i=1

En todo caso, la demostración es simple. Por ejemplo, obtengamos la suma de los primeros 4 cubos:

Por la forma larga:
1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 1 + 8 + 27 + 64 = 100

Por la fórmula dada:
En este caso,n = 4, así que

. n
. Σ k³ = { [ n(n + 1) ] / 2 } ²
k=1

Reemplazando,

. 4
. Σ k³ = { [ 4(4 + 1) ] / 2 } ² = { [ 4(5) ] / 2 } ² = (20 / 2)² 
k=1

. 4
. Σ k³ = 10² = 100
k=1

que es el mismo resultado que habíamos obtenido antes por el método largo.

Desde luego que la forma "corta" que aplica la fórmula es más útil y conveniente para números grandes de n. El ejemplo lo hice conun "n" pequeño para que fuese corto y sencillo de explicar.

Ahora bien, si lo que buscas es la demostración matemática de cómo se llega a la fórmula dada, debemos recurrir a las denominadas "sumas telescópicas".

Por una parte, llamemos Cn a lo que deseamos hallar (la suma de los cubos):
....................... ..................n
Cn = 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = Σ k³
....................................... k=1

Voy a llamar a la anterior ecuación (*).

Por otra parte, escribamos la siguiente suma telescópica:

. n
. Σ [ (k + 1)⁴ - k⁴ ]
k=1

Si expandimos cada uno de los términos de la anterior suma (para mejor lectura voy a omitir los límites inferior y superior del signo de sumatoria Σ) , tenemos que ella es igual a

Σ [ (k + 1)⁴ - k⁴ ] = [ (1+1)⁴ - 1⁴ ] + [ (2+1)⁴ -2⁴ ] + [ (3+1)⁴ - 3⁴ ] + ... + [ (n-1+1)⁴ - (n-1)⁴ ] + [ (n+1)⁴ - n⁴ ]

operando en los paréntesis tenemos

Σ [ (k + 1)⁴ - k⁴ ] = (2⁴ - 1⁴) + (3⁴ - 2⁴) + (4⁴ - 3⁴) + ... + [ n⁴ - (n-1)⁴ ] + [ (n+1)⁴ - n⁴ ]

eliminando los paréntesis:

Σ [ (k + 1)⁴ - k⁴ ] = 2⁴ - 1⁴ + 3⁴ - 2⁴ + 4⁴ - 3⁴ + ... + n⁴ - (n-1)⁴ + (n+1)⁴ - n⁴

vemos que existen términos semejantes que se pueden cancelar, como 2⁴ y-2⁴, 3⁴ y -3⁴, y así sucesivamente hasta quedar

Σ [ (k + 1)⁴ - k⁴ ] = -1⁴ + (n+1)⁴

reordenando y volviendo a escribir los límites de la suma tenemos:

. n
. Σ [ (k + 1)⁴ - k⁴ ] = (n+1)⁴ - 1
k=1

y llamemos a esta ecuación (i).

Ahora bien, si en lugar de expandir la suma realizamos la operación interior (elevamos el binomio a la cuarta potencia y realizamos la resta) tenemos:

. n........................... n
. Σ [ (k + 1)⁴ - k⁴ ] = Σ (k⁴ + 4k³ + 6k² + 4k +1⁴ - k⁴)
k=1 ....................... k=1

como se observa, los k⁴ se cancelan, quedando

. n ........................... n
. Σ [ (k + 1)⁴ - k⁴ ] = Σ (4k³ + 6k² + 4k +1)
k=1 ....................... k=1

Aplicando al lado derecho de la anterior igualdad las propiedades de la sumatoria, tenemos que

. n...