Soljun13

IES Mediterráneo de Málaga

Solución Junio 2013

Juan Carlos Alonso Gianonatti

BLOQUE A
CUESTIÓN A.1.- Discuta el, en función del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones

 x + y + z =1

 x − ay + z = 1 [2’5 puntos]
ax + y + z = 4

No hay que resolverlo en ningún caso

a)
1

1 1
1
1
1
− (a + 1)
0
A = 1 −a 1 =0⇒ 0
− a − 1 0 = 1⋅
= (a + 1) ⋅ (a − 1) ⇒
a −1
0
a 1 1
a −1
0
0
 a −1 = 0 ⇒a = 1
Si A = 0 ⇒ (a + 1) ⋅ (a − 1) = 0 ⇒ 
a + 1 = 0 ⇒ a = −1
∀a ∈ ℜ − {− 1 , 1} ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 = Número de incognitas ⇒ Sist. Compatible Deter min ado
Si a = −1
 1 1 1 1 1 1 1 1

 

 1 1 1 1  ≡  0 0 0 0  ⇒ rang ( A) = rang ( A / B ) = 2 < Número de incognitas ⇒
 −1 1 1 4 0 2 2 5

 

Sistema Compatible In det er min ado
Si a = 1
1 1 1 1   1 1 1 1 

 

1 − 11 1  ≡  0 − 2 0 0  ⇒ rang ( A) = 2 ≡ rang ( A / B ) = 3 ⇒ Sistema Incompatible
1 1 1 4   0 0 0 3 

 


1

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Juan Carlos Alonso Gianonatti

CUESTIÓN A.2.- Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son A = (1 , 3, −4),
B = (2 , 6 , 7) y C = (5 , −1 , 2).

D

C

B

A
a) [1,25 puntos] Calcule el área del paralelogramo.
b) [1,25 puntos]Determine el cuarto vértice,

a) El área del paralelogramo es el módulo del producto vectorial de los vectores BA y BC

i
j
k
 BA = (1 , 3 , − 4 ) − (2 , 6 , 7 ) = (− 1 , − 3 , − 11)
⇒ A = BA × BC ⇒ BA × BC = − 1 − 3 − 11

 BC = (5 , − 1 , 2 ) − (2 , 6 , 7 ) = (3 , − 7 , − 5)
3 −7 −5
BA × BC = 15i − 33 j + 7k + 9k − 77i − 5 j = −62i − 38 j + 16k ⇒
A = BA × BC =

(− 62)2 + (− 38)2 + 16 2

= 3844+ 1444 + 256 = 5544 = 6 154 u 2

b) El punto D es la suma del vector OC, siendo O el origen de coordenadas, y del vector CD, siendo este
igual a BA

 BA = (1 , 3 , − 4 ) − (2 , 6 , 7 ) = (− 1 , − 3 , − 11)
⇒ OD = OC + BA = (5 , − 1 , 2 ) + (− 1 , − 3 , − 11) ⇒

 OC = (5 , − 1 , 2 ) − (0 , 0 , 0 ) = (5 , − 1 , 2 )
OD = (4 , − 4 , − 9 ) ⇒ D (4 , − 4 , − 9 )
CUESTIÓN A.3.- Dada la función

f (x) =

x2
, se pide:
x −1

a) [0,25 puntos] Dominio de definición y puntos de corte con los ejes.
b) [1 punto] Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).
c) [0,75 puntos] Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos).
d) [0,5 puntos] Representación gráfica aproximada.

a)
x − 1 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ f (1) =

12
1
= ⇒ Sin solución ⇒ Dom ( f ) = ∀x ∈ ℜ − {1}
1−10

Puntos de corte
x2
⇒ x 2 = 0 ⇒ x = 0 ⇒ (0 , 0 )
x −1
02
0
=
= 0 ⇒ (0 , 0 )
Con OY ⇒ x = 0 ⇒ f (0 ) =
0 −1 −1
b)
A sin tota vertical x = 1

Con OX ⇒ y = 0 ⇒ 0 =

2

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Juan Carlos Alonso Gianonatti

Continuación de la Cuestión A.3

b) Continuación
Asíntotas horizontales
x2
x2

1
1
1
1
x
∞
= = lim
= lim
=
=
= ⇒ Sin solución
x
x
→
∞
→
∞
1
1 1
1 1 0−00
x
x −1 ∞
− 2
− 2
−
2
x x
∞ ∞
x
x
No existe asíntota horizontal cuando x → ∞
y = lim

2

x →∞

x2
(− x )2 = lim x 2 = ∞ = lim x 2
1
1
1
x2
y = lim
= lim
= lim
=
= ⇒ Sin sol.
x → −∞ x − 1
x →∞ (− x ) − 1
x →∞ − x − 1
x →∞
1
1 1
1 1 0
− ∞ x →∞ x
− 2 − 2
− − 2
−
x x
∞ ∞
x
x
No existe asíntota horizontal cuando x → −∞
Asíntotas oblicuas
x2
x2
2
2
1
1
1
f (x )
x
∞
m = lim
= lim x − 1 = lim 2
= = lim2 x
= lim
=
=
=1
x →∞
x
x
x
x
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
1
1 1− 0
x
x
x −x ∞
x
x
1
1
−
−
−
x
∞
x2 x2
x
2
2
 x2

1
1
x −x +x
x
∞
n = lim[ f ( x ) − mx ] = lim
− 1 ⋅ x  = lim
= lim
= = lim x = lim
=
=1
x →∞
x →∞ x − 1
x →∞
x
x
x
→
∞
→
∞
→
∞
1
1
x
1− 0
x −1
x −1 ∞


1−
−
x x
x
Existe asíntota inclinada u oblicua, y = x + 1, cuando x → ∞
x2
x2
2
1
1
1
x2
∞
m = lim x − 1 = lim 2
= = lim 2 x
= lim
=
=
=1
x→ −∞
x →∞ x + x
x →∞
1
1 1+ 0
x
∞ x →∞ x
x
1+
1+
+
x
∞
x2 x2
x
−
 x2

x2 − x2 + x
−x
∞
x = lim − 1 = − 1 = 1
n = lim 
− x  = lim
= lim
= = lim
x → −∞ x − 1
x →∞ − x − 1
1 −1− 0
x −1
∞ x →∞ x 1 x →∞

 x→−∞
− −
−1−
x x
x
Existe asíntota inclinada u oblicua, y = x + 1, cuando x → −∞

c)
f ' (x ) =

2 x ( x − 1) − x 2

(x − 1)

Creciente ⇒

2

=

2x 2 − 2x − x 2

(x − 1)

(x − 2) x
f ' (x )...