Soluci N PARCIAL 2 CALCULOIII

Universidad Tecnológica de Bolívar
Facultad de Ciencias Básicas
Parcial 2 de Cálculo III
Nombre:_____________________FILA K___
Nota: El parcial requiere de resolver tres puntos, siendo 1 y 2 obligatorios. Si
usted resuelve como cuarto punto el ejercicio 3, recupera el segundo quiz o si usted
resuelve como cuarto punto el ejercicio 4, recupera el control de tareas 5

1. Encuentre el límite, siexiste, o demuestre que el límite no existe, para
3x y + x2
1 x y
(x;y)!(0;1)
2
x y + 2xy 2
(b)
lim
x2 + y 2
(x;y)!(0;0)

(a)

2 3x y+x2 +y 2
1 x y

Solución:(a) lim(x;y)!(0;1)
Camino
y=1
x=0
y=x+1

y2

2

lim

f (x; y) =

2 3x y+x2 y 2
1 x y

3x+x2
=3
x
2
(0; y) = 2 1y yy = y +
f (x; x) = 6x
2x = 3

lim

(x;y)!(0;1)

f (x; 1) =

x

3

f

2

3
3

f (x; y)

Probaremos que
2

lim

(x;y)!(0;1)

3x
1

y+ x2
x y

y2

=3

(i) Dado " > 0: Existe un nùmero real " > 0 tal que si
q
2 3x y + x2 + y 2
2
x2 + (y 1) < " =)
1 x y
para probar esta
(2i)
2

3x
1

y + x2
x y

3 <"

a…rmación es su…ciente con mostrar un valor
y2

3

=

2

y + x2 y 2 3 + 3x + 3y
1 x y

3x

1 + 2y + x2
1 x y

=

"

y2

=

2

x2 (y
1 x

1)
y

y + 1) (x + y 1)
(x y + 1) (1 x
=
1 x y
1 x y
= j (x y + 1)j = jx + (y 1)j jxj + jy 1j
=(3i)Es claro que:
q
x2 + (y
jxj

2

1) <

(x

";

1

jy

1j

q
x2 + (y

2

1) <

";

y)

luego
jxj + jy

q
2 x2 + (y

1j

(4i) Luego
2

y + x2
x y

3x
1

y2

2

1) :

q
2 x2 + (y

3

< 2

"

Por tanto, es su…ciente considerar que 2 " = " =)
(b)Probaremos que
x2 y + 2xy 2
=0
lim
x2 + y 2
(x;y)!(0;0)
(i) Dado " > 0: Existe un nùmero real
p

para probar esta
(2i)

x2 + y 2 <

"

=)

2

1)

"

="=2

> 0 tal que si

"

x2 y + 2xy 2
x2 + y 2

0 <"

a…rmación es su…ciente con mostrar un valor

x2 y + 2xy 2
x2 + y 2

0

=

x2 y + 2xy 2
x2 + y 2

=

x2 y + 2xy 2
x2 + y 2

x2 jyj + 2 jxj y 2
x2 + y 2

(3i)Es claro que:
x2
jyj
luego

x2 + y 2 ; y 2 x2 + y 2 ;
p
p
x2 + y 2 ; jxj
x2 + y 2 ;

p
3 x2 + y 2 x2 + y 2 :

x2 jyj + 2 jxj y 2
(4i) Luego
x2 y + 2xy 2
x2 + y 2

x2 jyj + 2 jxj y 2
x2 + y 2
p
3x2 + y 2 x2 + y 2
x2 + y 2
p
3 x2 + y 2 < 3 " :

0

Por tanto, es su…ciente considerar que 3

"

= " =)

"

= "=3

2. Encuentre los extremos relativos de la función indicada
f (x; y) = 5x2 + 5y 2 + 5xy
2

10x

5y + 18

"

Solución:
(i) Derivadas parciales de primer orden:
fx (x; y) = 10x + 5y
fy (x; y) = 10y + 5x

10
5

(2i) Puntos criticos:
10x + 5y 10 = 0
2x + y
=)
10y + 5x 5 = 0
2y + x

2=0=) P (1; 0)
1=0

(3i) Derivadas parciales de segundo orden:
fxx (x; y) = 10; fyy (x; y) = 10; fxy (x; y) = 5
(4i) Criterio:
2

(x; y) = fxx (x; y) fyy (x; y)
fxx (x; y) = 10 > 0

fxy (x; y) = 100

25 = 75 > 0

=) P (1; 0) es un minimo relativo de f (x; y)
3. Una placa metalica esta situada en el plano xy y ocupa un lugar en el rectangulo
0 x 6; 0 y 6; donde x; y se miden en metros. La temperaturaen el
punto (x; y) del plano es T (x; y) donde T se mide en grados Celsius. Se midió
la temperatura en puntos igualmente espaciados y se registraron los valores en
la tabla

y
T (x; y)
0
2
4
6

x

(a) Estime el valor de
(i)

@
T
@!
u

=)

Tx (4; 4)

2
38
56
74
87

4
45
60
72
80

6
51
62
68
75

(4; 4) en la dirección del vector !
u =

T (4 + h; 4)
h

Tx (4; 4)

0
30
52
78
98

T (4; 4)

=

(

T (2;4)T (4;4)
2
T (6;4) T (4;4)
2

=
=

60 72
2
80 72
2

h 3;4i
5

=6
=4

5

(2i)
T (4; 4 + k)
k

Ty (4; 4)
=)

Ty (4; 4)

T (4; 4)
1:5
3

=

(

T (4;2) T (4;4)
2
T (4;6) T (4;4)
2

=
=

74 72
2
68 72
2

=
=

1
2

!
(3i) rT (4; 4) = hTx (4; 4) ; Ty (4; 4)i
@
T (4; 4)
@!
u

h5; 1:5i =)

!
rT (4; 4) !
u

=
=

21=5 =

h 3; 4i
5

h5; 1:5i

4:2

(b) Aproxime el valor de T (4:58; 3:85) =)en vecindades de(4; 4) ; se tiene
T (x; y)
T (4:58; 3:85)

T (4; 4) + Tx (4; 4) (x 4) + Ty (4; 4) (y 4)
72 + 5 (4:58 4) 1:5 (3:85 4) = 75:125

4. El sistema cardiovascular humano es similar a circuitos eléctricos en serie y en
paralelos. Por ejemplo, cuando la sangre circula a través de dos resistencias en
paralelo, la resistencia equivalente R de la red es

1
1
1
=
+
;
R
R1
R2
si los errores porcentuales en la...