Solucionario Ecuaciones Diferenciales Zill 7ma Ed 5 1

5

MODELADO CON ECUACIONES
DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
5.1 Modelos lineales: Problemas con valores iniciales
5.1.1 Sistemas resorte /masa: Movimiento libre no amortiguado
5.1.2 Sistemas resorte /masa: Movimiento libre amortiguado
5.1.3 Sistemas resorte /masa: Movimiento forzado
5.1.4 Circuito en serie análogo
5.2 Modelos lineales: Problemas con valores en la frontera
5.3 Modelos no linealesREPASO DEL CAPÍTULO 5

Ya hemos visto que una sola ecuación puede servir como modelo matemático para
varios sistemas físicos. Por esta razón sólo examinamos una aplicación, el
movimiento de una masa sujeta a un resorte, que se trata en la sección 5.1. Excepto
por la terminología y las interpretaciones físicas de los cuatro términos de la ecuación lineal ayЉ ϩ byЈ ϩ cy ϭ g(t), las matemáticas de,digamos, un circuito eléctrico en serie son idénticas a las de un sistema vibratorio masa /resorte. Las formas
de esta ED de segundo orden se presentan en el análisis de problemas en diversas
áreas de la ciencia e ingeniería. En la sección 5.1 se tratan exclusivamente
problemas con valores iniciales, mientras que en la sección 5.2 examinamos aplicaciones descritas por problema con valores en lafrontera. También en la sección 5.2
vemos cómo algunos problemas con valores en la frontera conducen a los importantes conceptos con eigenvalores y funciones propias (eigenfunciones). La sección
5.3 inicia con un análisis acerca de las diferencias entre los resortes lineales y no
lineales; entonces se muestra cómo el péndulo simple y un cable suspendido conducen a modelos matemáticos no lineales.181

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CAPÍTULO 5

O

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES

5.1

REPASO DE MATERIAL
O Secciones 4.1, 4.3 y 4.4
O Problemas 29 a 36 de los ejercicios 4.3
O Problemas 27 a 36 de los ejercicios 4.4
INTRODUCCIÓN En esta sección, se van a considerar variossistemas dinámicos lineales en los
que cada modelo matemático es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes junto con condiciones iniciales especificadas en un tiempo que tomaremos como t = 0:
a

d 2y
dt 2

b

dy
dt

cy

g(t), y(0)

y0 ,

y (0)

y1.

Recuerde que la función g es la entrada, función de conducción o función forzada del sistema.
Una solución y(t) de laecuación diferencial en un intervalo I que contiene a t = 0 que satisface las
condiciones iniciales se llama salida o respuesta del sistema.

5.1.1

l

l

no estirado

s
m
posición de
equilibrio
mg − ks = 0

a)

l+s

x
m
movimiento

b)

c)

FIGURA 5.1.1 Sistema masa͞resorte.

SISTEMAS RESORTEͲMASA:
MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO

LEY DE HOOKE Suponga que un resorte se suspende verticalmente de unsoporte
rígido y luego se le fija una masa m a su extremo libre. Por supuesto, la cantidad de alargamiento o elongación del resorte depende de la masa; masas con pesos diferentes
alargan el resorte en cantidades diferentes. Por la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce
una fuerza restauradora F opuesta a la dirección de elongación y proporcional a la cantidad de elongación s y es expresada en formasimple como F ϭ ks, donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante de resorte. El resorte se caracteriza en esencia por el número k. Por ejemplo, si una masa que pesa 10 libras hace que un resorte se
alargue 12 pie, entonces 10 k 12 implica que k ϭ 20 lb/pie. Entonces necesariamente
una masa que pesa, digamos, 8 libras alarga el mismo resorte sólo 25 pie.
SEGUNDA LEY DE NEWTON Despuésde que se une una masa m a un resorte, ésta
alarga el resorte una cantidad s y logra una posición de equilibrio en la cual su peso W se
equilibra mediante la fuerza restauradora ks. Recuerde que el peso se define mediante
W ϭ mg, donde la masa se mide en slugs, kilogramos o gramos y g ϭ 32 pies/s2, 9.8 m/s2,
o bien 980 cm /s2, respectivamente. Como se indica en la figura 5.1.1b, la condición de...