Subconjuntos

Número imaginario
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Ilustración del plano complejo. Los números imaginarios se encuentran en el eje de coordenadas vertical.

|[pic](se repite el patrón |
|de la zona azul) |
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Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a [pic]el nombre de i (por imaginario) y se propuso paraser despectivo, aunque son un concepto válido suponiendo un plano con ejes cartesianos en el que los reales se encuentran sobre el eje horizontal y los imaginarios sobre el eje vertical complejo. Cada número imaginario puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad imaginaria, con la propiedad:
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En campos de ingeniería eléctrica, electrónica y relacionados, launidad imaginaria es a menudo escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.
Cada número complejo puede ser escrito unívocamente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma:
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Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.
Estos números extienden el conjunto de losnúmeros reales [pic]al conjunto de los números complejos [pic].
Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que [pic]es una especie de anfibio entre el ser y la nada.

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Usos
• La unidad imaginaria puede ser usada para extender formalmente la raíz cuadrada de números negativos.
• Igualmente la raíz cuadrada de un número imaginario es un número complejo, y la raíz de un númerocomplejo en general es otro número complejo.
• Gracias a la fórmula de Pascal los logaritmos de números negativos también son expresables (de manera no unívoca) mediante [pic], así ln( − 1) = πi aunque cualquier número imaginario de la forma [pic]satisface que [pic]. Curisosamente [pic].
• En física cuántica la unidad imaginaria se usa ampliamente y permite simplificar la descripciónmatemática de los estados cuánticos variables en el tiempo.
• En teoría de circuitos y corriente alterna la unidad imaginaria se usa ampliamente para representar ciertas magnitudes como fasores, lo cual permite un tratamiento algebraico más ágil de dichas magnitudes.

Números imaginarios

Definición

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|Un número que cuando se eleva al cuadrado (se multiplica por sí mismo) da un resultado negativo. |

Intentos

Vamos a probar a elevar algunos números al cuadrado a ver si podemos sacar un resultado negativo:
2 × 2 = 4

(-2) × (-2) = 4 (porque negativo por negativo da positivo)

0 × 0 = 0

0.1 × 0.1 = 0.01

¡No hay suerte! Siempre positivo, ocero.
Eso es porque estamos calculando el cuadrado de números reales.
|[pic] |Pero imagina que hay un número (vamos a llamarlo i de imaginario) que cumpliera esto: |
| |i × i = -1 |
| |¿Sería útil, qué podríamos hacer con él?|

Bueno, haciendo la raíz cuadrada de los dos lados tendríamos un valor para la raíz cuadrada de -1:
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Y eso es muy útil... simplemente aceptando que exista i podemos resolver muchos problemas donde nos hace falta la raíz cuadrada de un número negativo.
Ejemplo: ¿cuál es la raíz cuadrada de -9?

Respuesta: √(-9) = √(9 × -1) = √(9) × √(-1) = 3 ×...