subespacios suma e intersección

TEMA 4: Espacios y subespacios vectoriales

1.

Espacios vectoriales

Sea K un cuerpo. Denominaremos a los elementos de K escalares.
Definici´n 1. Un espacio vectorial sobre K es un conjunto V cuyos elementos se denoo
minan vectores y en el cual hay definidas dos operaciones: una operaci´n interna o suma
o
de vectores tal que
(V, +) es un grupo abeliano
El elemento neutro los denotamoscomo 0 (para distinguirlo del elemento neutro del cuerpo
K) , y lo llamaremos el vector cero.
Adem´s hay definida una operaci´n llamada el producto de un escalar por un vector,
a
o
es decir, una aplicaci´n K × V → V , verificando para cualesquiera λ, λ1 , λ2 ∈ K y para
o
cualesquiera u, v ∈ V que:
1. λ(u + v) = λu + λv
2. (λ1 + λ2 )u = λ1 u + λ2 u
3. λ1 (λ2 u) = (λ1 · λ2 )u
4. 1 · u = uEjemplos 2.
1. El conjunto V = R × R es un espacio vectorial sobre el cuerpo R con respecto de
la operaciones
(x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ),

λ · (x1 , x2 ) = (λ · x1 , λ · x2 )

El vector cero es 0 = (0, 0).
2. Sea V = Q[x]3 = {a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 | ai ∈ Q} el conjunto de todos los
polinomios con coeficientes en Q y de grado menor o igual que tres. Entonces V es
unespacio vectorial sobre Q con respecto de las operaciones suma de polinomios y
el producto de un escalar por un polinomio:
λ · (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ) = (λa0 ) + (λa1 )x + (λa2 )x2 + (λa3 )x3
3. Si V1 , V2 , . . . , Vn son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, entonces el
producto cartesiano V = V1 × V2 × . . . × Vn es de nuevo un espacio vectorial sobre
K respecto de lasoperaciones
(u1 , u2 , . . . , un ) + (v1 , v2 , . . . , vn ) = (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn )
λ · (u1 , u2 , . . . , un ) = (λ · u1 , λ · u2 , . . . , λ · un )
El vector cero de V es 0V = (0V1 , 0V2 , . . . , 0Vn ).
1

2

4. El conjunto V = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 − 4x2 − 5x3 = 0} es un espacio vectorial
sobre R. V tambi´n se puede describir como el conjunto
e
{λ1 · (4, 1, 0) +λ2 · (5, 0, 1) | λ1 , λ2 ∈ R}
5. M´s generalmente, el conjunto de las soluciones de un sistema homog´neo de ecuaa
e
ciones lineales sobre un cuerpo K, es un espacio vectorial sobre K.
6. Es inmediato comprobar que todo cuerpo K se puede considerar como un espacio
vectorial sobre s´ mismo. En este caso, las operaciones sobre vectores coinciden con
ı
las correspondientes operaciones sobreescalares.
7. El conjunto Mm×n (K) es un espacio vectorial sobre K.
Las siguientes propiedades generales se deducen de la definici´n de espacio vectorial:
o
Propiedad 3. Sea V un espacio vectorial sobre K. Entonces:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

∀u ∈ V, 0 · u = 0
∀λ ∈ K, λ · 0 = 0
Dados λ ∈ K, u ∈ V , si λ · u = 0 entonces λ = 0 ´ u = 0.
o
∀λ ∈ K, ∀u ∈ V , (−λ)u = −(λu) = λ(−u)
∀λ ∈ K, ∀u,v ∈ V , λ(u − v) = λu − λv
∀λ1 , λ2 ∈ K, ∀u ∈ V , (λ1 − λ2 )u = λ1 u − λ2 u
Dados λ, µ ∈ K y u = 0, si λ · u = µ · u entonces λ = µ.
Dados λ ∈ K,λ = 0, y u, v ∈ V , si λ · u = λ · v entonces u = v.

Definici´n 4. Dados los vectores u1 , u2 , . . . , un ∈ V , y los escalares λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ K, un
o
vector de la forma
λ1 u 1 + λ 2 u 2 + . . . + λn u n
se denomina una combinaci´nlineal de los vectores u1 , u2 , . . . , un con coeficientes λ1 , λ2 , . . . , λn .
o

2.

Subespacios vectoriales

Dado un espacio vectorial V , decimos que un subconjunto no vac´ U ⊆ V , es un subıo
espacio vectorial de V cuando al restringir las operaciones de suma y multiplicaci´n por
o
escalares para V a U , ´ste es un espacio vectorial. Formalmente, lo que estamos diciendo
e
es que:1. Para cualesquiera u, v ∈ U , se verifica que u + v ∈ U
2. Para cualesquiera λ ∈ K, u ∈ U se verifica que λ · u ∈ U
Observar que la segunda condici´n anterior implica que el vector cero de V est´ tambi´n
o
a
e
→
−
en U , ya que si u ∈ U , entonces 0 · u = 0 ∈ U .
Propiedad 5. U es un subespacio vectorial de V si y s´lo si ∀u, v ∈ U y ∀λ, µ ∈ K se
o
verifica que λu + µv ∈ U .

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