subespacios vectoriales

SUMAS DE SUBESPACIOS
En este apunte trabajaremos el concepto de sumas de subespacios.
La suma de subespacios es el subespacio generado por la unión de todos
los sumandos.

Denición 1. Sea V unK espacio vecorial y sean S y T subespacios.

Denimos la suma de S y T como el subespacio S + T = S, T . En
el caso en que S ∩ T = {0} decimos que la suma es directa y notamos
S + T = S ⊕ T.Observación 2. Resulta claro que S + T = {s + t ∈ V / s ∈ S, t ∈ T } ya
que el miembro de la derecha es un subespacio y cualquier subespacio
que contenga a S y a T contiene a todos los vectores de laforma
s + t (s ∈ S, t ∈ T ). Esto demuestra el hecho de que la unión de un
conjunto de generadores de S con un conjunto de generadores de T es
un conjunto de generadores de la suma.

Denición3. Sean B = {v1 , v2 , . . . vn } y B = {w1 , w2 , . . . wm } con-

juntos ordenados. Llamamos unión ordenada de B y B a la sucesión
{v1 , v2 , . . . vn , w1 , w2 , . . . wm }. Esta denición puedeextenderse a varios subespacios inductivamente.
Observación 4. Notar que en una unión ordenada puede aparecer el
mismo elemento más de una vez.

Proposición 5. Sea V un K espacio vectorial dedimensión nita y

sean S
1.
2.
3.

y T subespacios. Las siguientes armaciones son equivalentes
S + T = S ⊕ T.
dim(S + T ) = dim(S) + dim(T ).
La unión ordenada de una base de S y una base de Tes base
de S + T .
4. Para todo v ∈ S + T existen únicos s ∈ S y t ∈ T tales que
v = s + t.

Demostración. (1)⇒(2): Por el teorema de la dimensión tenemos que
dim(S +T ) = dim(S)+dim(T )−dim(S∩T ). Luego, como S ∩T = {0}
se tiene (2).
(2)⇒(3): Sean BS y BT bases de S y T respectivamente. Por la
observación anterior sabemos que B = BS ∪ BT es un conjunto de
generadores de S + T y por lotanto dim(S + T ) ≤ #(B). Por otro lado
#(B) ≤ #(BS ) + #(BT ) = dim(S) + dim(T ) = dim(S + T ). Luego
dim(S + T ) = #(B) y, como B genera S + T , resulta base.
(3)⇒(4): Supongamos que s + t = s...