Sucesiones 1 1

Sucesiones, teoría juegos y de números
Regularidades y sucesiones
Sucesiones de números. Una sucesión de números reales es una lista interminable de números que sigue una regla de formación. A partir de los números dados y la regla de formación podemos obtener los siguientes números de la sucesión. Ejemplo: 7, 4 , 1 , –2 , … es una sucesión de números que se forma por la regla de “restar 3”.Los siguientes números de la sucesión se obtendrían restando 3. Los números de una sucesión se llaman términos de la sucesión y se representan por a1 , a2 , a3 , a4 , etc. En la sucesión anterior, a1 = 7 , a2 = 4 , a3 = 1 , a4 = –2 , etc, etc. Término general de una sucesión. Es una fórmula que nos permite calcular un término cualquiera de la sucesión sustituyendo la letra “n” por un número naturaldeterminado. El término general se suele representar por an Por ejemplo, si an =   2 3n 4 2n 1 y queremos calcular, por ejemplo, el quinto término se sustituye n = 5. El quinto término sería entonces: a5 =   2 3.5 4 2.5 1 = 71 11 Sucesiones recurrentes. Son aquellas sucesiones en las que para obtener un término usamos los términos anteriores a él y una regla de formación o una fórmula derecurrencia. Ejemplos: Si a1 = 4 , a2 = 7 y la regla es “sumar los dos términos anteriores”, los términos son: 4 , 7 , 11 , 18 , 29 , 47 , ….. Si a1 = 6 , a2 = 40 y la fórmula de recurrencia es an = a n–1 – 5.a n–2 , entonces Sustituyendo n = 3 en la fórmula → a3 = a3–1 – 5.a3–2 = a2 – 5.a1 = 40 – 5.6 = 10 → a3 = 10 Sustituyendo n = 4 en la fórmula → a4 = a3 – 5.a2 = 10 – 5.40 = –190 → a4 = –190 etc,etc
Termino general de una sucesión
1. Comprobar si la sucesión es una progresión aritmética.
8, 3, −2, −7, −12, ...
3 − 8= −5
−2 − 3 = −5
−7 − (−2) = −5
−12 − (−7) = −5
d = −5.
an= 8 + (n − 1) (−5) = 8 − 5n +5 = −5n + 13


2. Comprobar si la sucesión es una progresión geométrica.
3, 6, 12, 24, 48, ...
6/3 = 2
12 6 = 2
24/12 = 2
48/24 = 2
r = 2.
an = 3 · 2 n−1


3. Comprobar si los términos dela sucesión son cuadrados perfectos.
4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
22, 32, 42, 52, 62, 72, ...
Observamos que las bases están en progresión aritmética, siendo d = 1, y el exponente es constante.
bn= 2 + (n − 1) · 1 = 2 + n − 1 = n + 1
Por lo que el término general es:
an= (n + 1)2
También nos podemos encontrar con sucesiones cuyos términos son números próximos a cuadrados perfectos.
5, 10, 17, 26, 37, 50,...
22 + 1 , 32 + 1, 42 + 1, 52 + 1, 62 + 1 , 72 + 1, ...
Hallamos el término general como vimos en el ejemplo anterior y le sumamos 1.
an= (n + 1)2 + 1
6, 11, 18, 27, 38, 51, ...
22 + 2 , 32 + 2, 42 + 1, 52 + 2, 62 + 2 , 72 + 2, ...
an= (n + 1)2 + 2
3, 8, 15, 24, 35, 48, ...
22 − 1 , 32 − 1, 42 − 1, 52 − 1, 62 − 1 , 72 − 1, ...
an= (n + 1)2 − 1
2, 7, 14, 23, 34, 47, ...
22 − 2 , 32 − 2, 42 − 2,52 − 2, 62 − 2 , 72 − 2, ...
an= (n + 1) 2 − 2
4. Si los términos de la sucesión cambian consecutivamente de signo.
Si los términos impares son negativos y los pares positivos: Multiplicamos an por (−1)n.
−4, 9, −16, 25, −36, 49, ...
an= (−1)n (n + 1)2
Si los términos impares son positivos y los pares negativos: Multiplicamos an por (−1)n−1.
4, −9, 16, −25, 36, −49, ...
an= (−1)n−1 (n + 1)25. Si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una progresión).
Se calcula el término general del numerador y denominador por separado.
an= bn /c n
2/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,...
Tenemos dos sucesiones:
2, 5, 8, 11, 14, ...
4, 9, 16, 25, 36, ...
La primera es una progresión aritmética con d= 3, la segunda es una sucesión de cuadrados perfectos.
an= (3n − 1)/(n + 1)2
Progresionesaritméticas
En matemáticas, una progresión aritmética es una sucesión de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada «diferencia de la progresión», «diferencia» o incluso «distancia».
Por ejemplo, la sucesión matemática: 3, 5, 7, 9… es una progresión aritmética de cuadro constante 2. Así como: 5 ; 2 ; −1 ; −4 es una...