Superficies cilíndricas y cuádricas

Superficies Cilíndricas y Cuádricas

Superficies cilíndricas (Cilindros)
Conocemos hasta este momento 2 tipos de superficies y éstas son:
1) La esfera [pic]
2) Planos [pic]
Un tercer tipo de superficie son las superficies cilíndricas o simplemente cilindros.

Definición:
Sea C una curva en un plano y L una recta no paralela a ese plano. El conjunto de todas las rectasparalelas a L que cortan a la curva C se llama cilindro de curva generatriz C. Cada una de estas rectas se llama recta directriz del cilindro.
[pic]
Estudiaremos solamente los cilindros cuya curva generatriz está en cualquiera de los tres planos coordenados y las rectas directrices sean perpendiculares a la curva generatriz C (cilindros rectos).

Ejemplos:Graficar cada una de las ecuaciones en el espacio tridimensional
a) [pic] b) [pic] c) [pic] d) [pic] e) [pic]
Analicemos primero para cada una de ellas el plano en que se encuentra su curva generatriz y la dirección de las rectas directrices.
Las gráficas de los literales [pic] tienen la curva generatriz en el plano XY y las rectas directrices paralelas al eje Z (lavariable ausente). Las de los literales [pic] tienen la curva generatriz en el plano YZ y las directrices son paralelas al eje x. Por último la gráfica de la ecuación del literal [pic]posee la generatriz en el plano xz y directrices paralelas al eje Y.
Gráfica de [pic]
La curva generatriz es una circunferencia.
Si las rectas directrices son paralelas al eje Z, significa que la gráfica se extenderáparalela a dicho eje. Entonces podemos hacer cortes del cilindro perpendicular al eje Z, o sea paralelos al plano XY. Podemos además, graficar solamente la parte de la gráfica sobre el plano XY.
[pic][pic]

|Gráfica de [pic] | |
|[pic]|[pic] |
| |[pic] |
| ||

Superficies Cuádricas

Un cuarto tipo de superficie en el espacio tridimensional son las cuádricas.
Una superficie cuádrica en el espacio es una ecuación de segundo grado de la forma
[pic] con A , B, C no todos nulos.
Existen 6 superficies cuádricas básicas las cuales son:
1) Elipsoide, 2) hiperboloide de una hoja, 3) hiperboloide de dos hojas, 4) cono elíptico, 5)paraboloide elíptico y 6) paraboloide hiperbólico (silla de montar)
OBSERVACION:
La intersección de una superficie con un plano se llama traza de la superficie con ese plano. En particular, las trazas de las superficies con los planos coordenados se obtienen haciendo [pic](traza con el plano yz), [pic] (traza con el plano xz) y [pic] (traza con el plano xy).

Para el estudio de estassuperficies cuádricas utilizaremos la ecuación canónica de cada una de ellas.
1) Elipsoide: [pic] con [pic]
Observemos que las 3 trazas de esta superficie con los 3 planos coordenados son elipses (o circunferencias).

Ejemplo 1:
Graficar [pic]
De la ecuación podemos ver que la parte mayor del elipsoide irá sobre el eje Y.
[pic]
2) Hiperboloide de unahoja
Las ecuaciones canónicas de estas superficies son de la forma
[pic]
Para identificar el hiperboloide de una hoja lo hacemos mediante las trazas con los planos coordenados: Son 2 hipérbolas y una elipse (la “cintura” del hiperboloide)
Para graficar esta superficie cuádrica utilizaremos tres elementos básicos
a) Identificar el eje del hiperboloide
b) Encontrar las trazas con planos...