Superficies cuadraticas

Cátedra: Calculo III Prof.: Ing. Henry A. Morales R.

SUPERFICIES CUÁDRICAS
Ecuación general: ax + by + cz + dx + ey + fz = g
2 2 2

Se pede decir que para que la ecuación de la forma F(x,y,z) = ctte represente una superficie cuádrica esta debe poseer la siguientes características: i. ii. iii. Deben Estar presentes las tres variables (x,y,z). Debe ser una expresión polinómica de segundogrado. Al menos dos de las variables deben estar elevados al cuadrado.

Es importante destacar que con esta clasificación no se estarían tomando los cilindros generados por cónicas como pertenecientes a la familia de superficies cuádricas, a pesar que en muchos textos se les incluya, debido a que estos fueron estudiados en su respectivo momento como un tipo de superficie diferente, las SuperficiesCilíndricas. Así podemos establecer si las siguientes ecuaciones representan o no una superficie cuádrica:

a) x 2 − y 2 + 4 z 2 − z = 2  es una superficie cuádrica. b) z = sen( x 2 + y 2 ) c) x 2 − y 3 + z = 4
 No es una superficie cuádrica.  No es una superficie cuádrica.

d) π x + π y 2 − π z 2 = e  es una superficie cuádrica. e) x 2 − y + z = 2 f) x− y+ z = 2
 No es unasuperficie cuádrica.  No es una superficie cuádrica.  No es una superficie cuádrica.

g) x 2 − y 2 = 4

Se puede apreciar que dentro de todas las superficies que pueden ser obtenidas mediante la ecuación F(x,y,z) = ctte las superficies cuádricas representan una pequeña parte, más sin embargo su importancia radica en el amplio empleo de estas en todas las ramas de la ingeniería. Es por ello que serealiza un estudio detallado de ellas. Clasificación de las Superficies Cuádricas: Las superficies cuádricas se clasifican en cinco grandes familias, a saber: 1) Los Paraboloides. Su característica principal es que una de sus variables no aparece como termino cuadrático, es decir, presentan dos variables elevadas al cuadrado y una lineal. Estos a su vez se subclasifican en tres grupos, que paraser distinguidos mediante su ecuación se hace necesario observar los coeficientes de los términos cuadráticos, así:

 Paraboloide Elíptico: los coeficientes de los términos cuadráticos presentan igual
signo pero distinto valor.

Grafica:
Eje Elipse

Características: - Dos de sus trazas son parábolas que comparten el mismo eje (eje del paraboloide), el mismo vértice (vértice delparaboloide) y abren hacia un mismo lado. - Sus secciones transversales son elipses, que en algunos casos puede representar una tercera traza.

Parábola

Parábola

Vértice

 Paraboloide Circular o de revolución: los coeficientes de los términos
cuadráticos presentan igual signo e igual valor. Grafica:
Eje Circunferencia

Características: - Dos de sus trazas son parábolas que comparten el mismoeje (eje del paraboloide), el mismo vértice (vértice del paraboloide) y abren hacia un mismo lado. - Sus secciones transversales son circunferencias, que en algunos casos puede representar una tercera traza.

Parábola

Parábola

Vértice

 Paraboloide Hiperbólico: los coeficientes de los términos cuadráticos presentan
signos diferentes. Grafica:
Hipérbola Parábola EjeCaracterísticas: - Dos de sus trazas son parábolas que comparten el mismo eje (eje del paraboloide), el mismo vértice (centro del paraboloide “punto de silla”) pero abren hacia lados opuestos. - Sus secciones transversales son Hipérbolas.
Hipérbola Parábola

Centro

La traza restante es representada por un par de rectas que se cruzan en el centro del paraboloide.

Los otros cuatros tipos de superficiecuádrica que se estudiaran tienen en común que las tres variables presentes se encuentran elevadas al cuadrado, así que se procederá a una observación de los coeficientes de dichos términos para determinar cada tipo.

2) Los Elipsoides.
Se obtiene cuando los coeficientes de los tres términos cuadráticos presenten igual signo pero valores diferentes. Es importante señalar que además de esta...