SUPERFICIES CUADRATICAS



SUPERFICIES CUADRÁTICAS
Las secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola tienen su generalización al espacio tridimensional en elipsoide, paraboloide e hiperboloide.
 
 
 Definición  (superficies cuadráticas)


La gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables

se conocen como superficies cuadráticas, salvo casos degenerados.
 

 
Observación: en la ecuaciónde segundo grado deliberadamente no hemos incluido los términos mixtos, y, pues la presencia de estos genera superficies con rotación.


ELIPSOIDE
La gráfica de la ecuación:


Corresponde a un elipsoide. Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes coordenados en ), y .
La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenadoses un único punto (! ) o una elipse. La figura 1 muestra su gráfica.


Figura 1. Elipsoide


PARABOLOIDE ELIPTICO 
La gráfica de la ecuación



Es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales son elipses:


Sus trazas sobre planos verticales, ya sean o son parábola.

Figura 2. Paraboloide elíptico

PARABOLOIDE HIPERBOLICO
La gráfica de la ecuación:Es un paraboloide hiperbólico. Sus trazas sobre planos horizontales son hipérbolas o dos rectas  (). Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano son parábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene la forma de una silla de montar, como se observa en la figura 3.

Figura 3.Paraboloide  hiperbólico

CONO ELIPTICO
La gráfica de la ecuación:


Es un cono elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales son elipses. Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas. Su gráfica se muestra en la figura 4.
 

Figura 4. Cono elíptico

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
La gráfica de la ecuación:



Es un hiperboloide de una hoja. Sus trazassobre planos horizontales son elipses



Sus trazas sobre planos verticales son hipérbolas o un par de rectas que se intersecan (!). Su gráfica se muestra en la figura 5.


Figura 5. Hiperboloide de una hoja

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS
La gráfica de la ecuación:



Es un hiperboloide de dos hojas. Su gráfica se compone de dos hojas separadas. Sus trazas sobre planos horizontales sonelipses y sobre planos verticales son hipérbolas (figura 6).


Figura 6. Hiperboloide de dos hojas

Ejemplo 1
Identifique cada una de las siguientes superficies cuadráticas:
a)
b)
Solución
a.) Dividiendo por 4 la primera ecuación obtenemos:



Lo que corresponde a un hiperboloide de dos hojas, con el eje como eje de simetría.

b.) Completando el cuadrado en para la segundasuperficie obtenemos:


Que corresponde a un paraboloide elíptico con eje paralelo al eje .

SUPERFICIES CILÍNDRICAS
Una buena parte de las superficies con las que trabajaremos en el curso se generan a partir de una curva que se mueve en el espacio (llamada generatriz), siguiendo una trayectoria determinada (llamada directriz) . Trazar la gráfica de una superficie de este tipo es muysimple, la idea es arrastrar la generatriz en la dirección de la directriz, el movimiento de la generatriz forma la superficie por la traza que va dejando. En la figura 7,  la curva generatriz es una parábola y como  directriz se usa el vector u = ( 0, 5, 0). En el software para este ejemplo, se puede cambiar la curva y la trayectoria u.
 

Figura 7.
 
 Definición  (cilindro)
 
Sea unacurva sobre un plano llamada directriz y sea una recta no paralela al plano , llamada generatriz. Entonces el conjunto de todos los puntos en las rectas paralelas a que intersecan a es un cilindro

Observación :
Esta definición es una generalización del conocido cilindro circular recto donde, por ejemplo, la generatriz es que esta sobre el plano y la directriz es paralela al eje .Para los...