SUPERFICIES CUADRATICAS

Cuádricas




Definición
Una cuádrica es el lugar geométrico de los puntos del espacio (x,y,z) que verifican una ecuación de segundo grado del tipo

La ecuación de una cuádrica se puede escribir en forma matricial como

donde

Denotaremos por la matriz que define la cuádrica y por A00 la matriz adjunta del elemento a00 en A.
Clasificación
Las cuádricas se clasifican de acuerdo asu signatura, es decir, el módulo de la diferencia entre el número de autovalores positivos y negativos de A00. Sin embargo, para calcular la signatura de la cuádrica no es necesario diagonalizar la matriz, debido a la existencia de unas cantidades invariantes asociadas a A00 que permiten determinar  sin necesidad de calcular explícitamente sus autovalores. Veámoslo:
los autovalores son lasraíces del polinomio característico, es decir, las soluciones de la ecuación . Ahora bien,
con

Cuando los tres autovalores de A00 son no nulos, es decir, det A000, si escribimos la sucesión K, J, I, 1 y denotamos por P y V el número de permanencias y variaciones de signo que hay en ella, respectivamente, entonces |P-V| = . Los valores I, J, K se conocen como invariantes de la cuádrica. De estaforma se tiene:
1. Si  = 3 :
1. det A > 0 ---> elipsoide real
2. det A < 0 ---> elipsoide imaginario (no existen puntos reales que verifican la ecuación)
3. det A = 0 ---> cono imaginario
2. Si  = 1 :
1. det A > 0 ---> hiperboloide hiperbólico (de una hoja)
2. det A < 0 ---> hiperboloide elíptico (de dos hojas)
3. det A = 0 ---> cono real
Si alguno de los autovalores es nulo (det A00 =0) pero el determinante de A es distinto de cero, entonces;
1. Si J > 0 ---> paraboloide elíptico
2. Si J < 0 ---> paraboloide hiperbólico
Si det A = det A00 = 0, hay que introducir nuevos invariantes para completar la clasificación

donde Aii representa la matriz adjunta del elemento aii en A para i=1,2,3.
Con estos nuevos invariantes se tiene
1. J > 0
1. K' 0 y signo K' = signo I --->cilindro elíptico imaginario
2. K' 0 y signo K' signo I ---> cilindro elíptico real
3. K' = 0 ---> par de planos imaginarios secantes
2. J < 0
1. K' 0 ----> cilindro hiperbólico
2. K' = 0 ----> par de planos reales secantes
3. J = 0 y I 
1. K' 0 ----> cilindro parabólico
2. K' = 0 y J' > 0 -- --> par de planos imaginarios paralelos distintos
3. K' = 0 y J' < 0 -----> par deplanos reales paralelos distintos
4. K' = 0 y J' = 0 ----> par de planos coincidentes
En la tabla siguiente se resume la clasificación anterior:

Clasificación de las Cuádricas
det A00 0
 = 3
det A > 0 Elipsoide Real
det A < 0 Elipsoide Imaginario
det A = 0 Cono Imaginario

 = 1
det A > 0 Hiperboloide Hiperbólico
det A < 0 Hiperboloide Elíptico
det A = 0 Cono Real


det A00 = 0det A0
J > 0 Paraboloide Elíptico
J < 0 Paraboloide Hiperbólico

det A = 0
J > 0
K' 0 , signo K' = signo I Cilindro elíptico imaginario
K'  0 , signo K' signo I Cilindro elíptico real
K' = 0 Par de planos imaginarios secantes

J < 0
K'  0 Cilindro hiperbólico
K' = 0 Par de planos reales secantes

J = 0
I  0
K'  0 Cilindro Parabólico
K' = 0, J' > 0 Par de planos imaginariosparalelos distintos
K' = 0, J' < 0 Par de planos reales paralelos distintos
K' = 0, J' = 0 Par de planos coincidentes



Centro
Plano polar: Dado un punto P = (x0,y0,z0)  IR3 se define el plano polar de P respecto a la cuádrica de matriz A como el plano de ecuación

Si P pertenece a la cuádrica, entonces el plano polar de P coincide con el plano tangente a dicha superficie en P.
Notodos los puntos poseen plano polar. La condición para que un punto (x, y, z) no lo tenga es que verifique el sistema de ecuaciones

que geométricamente se interpreta como la intersección de tres planos.
Si det A000, entonces el sistema es compatible y tiene solución única. El punto solución se conoce como centro de la cuádrica.
Si det A00 pueden ocurrir tres cosas, si det A=0 y los...