Técnicas de conteo

INTRODUCCION

En el siguiente trabajo hablaremos sobre dos de las técnicas de conteo más utilizadas, las cuales son las permutaciones y combinaciones.
El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el número de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre varios conjuntos.
Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas paraenumerar eventos difíciles de cuantificar.




PERMUTACIONES

Una permutación de un conjunto de elementos, es un ordenamiento específico de todos o algunos elementos del conjunto, facilita el recuento de las ordenaciones diferentes que pueden hacerse con los elementos del conjunto.
En una permutación el orden en que se disponen los elementos del conjunto es importante.
PERMUTACIONES DE nELEMENTOS
Por el principio fundamental del conteo podemos enunciar que el número de permutaciones de n objetos distintos tomados de n en n, es:
n Pn = n!
Se quiere conocer el conjunto de todas las disposiciones posibles de tres personas colocadas en hilera para tomar una fotografía.
3P3 = 3! = 6
Cinco personas desean nombrar un Comité Directivo compuesto de un presidente, unvicepresidente, un secretario, un tesorero y un vocal. ¿Cuántas maneras hay de constituir el comité?
5P5 = 5! = 120
PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS EN DIFERENTES GRUPOS DE r ELEMENTOS.
Podemos calcular el número de permutaciones nPr, de n elementos, tomados en grupos o subconjuntos de r elementos.
nPr= n! / (n- r)!
Ejemplo:
- Si de un estante tomamos 2 de 3 libros ¿Cuántas permutaciones puedenrealizarse?
3P2 = 3! / (3-2)!= 3! = 6
- ¿Cuántas ternas pueden formarse con las 26 letras del alfabeto, si cada letra sólo puede utilizarse una sola vez?
26P3 = 26! / (26-3)! = 26! / 23!= 15600
- Cinco personas entran a una sala en la que hay 8 sillas. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ocupar las sillas?
8P5 = 8! / (8-5)! = 8! / 3! = 6720
PERMUTACIONES DONDE NO TODOS LOS ELEMENTOSSON DIFERENTES.

Si los elementos de un conjunto no son todos diferentes entre sí, es decir, algunos de los elementos son idénticos, la fórmula de las permutaciones presenta un nuevo aspecto.
El número de permutaciones que se pueden formar en el caso de n elementos, cuando hay n1 elementos idénticos, n2 elementos de otro tipo idénticos, etcétera, es:

nPn1, n2,…, nk = n! / n1!n2!......nk!Ejemplo:
-¿Cuántas palabras diferentes de cuatro letras pueden formarse con las letras LULU?
4P2, 2 = 4! / 2! 2! = 24/4= 6
S = {LLUU, LULU, UULL, ULUL, LUUL, ULLU}
- ¿Cuántas palabras de once letras pueden formarse con la palabra Mississippi?.
11P4, 4, 2,1 = 11! / 4! 4!,2!,1! = 34650
-¿Cuántos mensajes pueden enviarse con diez banderas utilizándolas todas, si son cuatro negras, tres verdes ytres rojas?

10P4, 3,3 = 10! / 4! 3!,3! = 4200

PERMUTACIONES CIRCULARES

Cuando los elementos se encuentran dispuestos en forma circular tenemos:

n Pc = (n − 1)!
Ejemplo:
¿De cuántas maneras podemos ordenar 5 llaves en un llavero?

5 Pc = (5 − 1)!= 4!= 24

COMBINACIONES

Ya sabemos que en una permutación el orden de los elementos es importante, pero cuando el orden de colocacióncarece de importancia, a la disposición de dichos elementos se le denomina combinación.
Por lo tanto, una combinación es un subconjunto o una disposición de todos los elementos de un conjunto, sin tener en cuenta el orden de ellos.
El número de combinaciones o subconjuntos no ordenados, cada uno formado por r elementos, que pueden obtenerse de un conjunto de n elemento es:

nCr= n! / (n – r)! r!Ejemplo:

- Si de un estante tomamos 2 de 3 libros, ¿Cuántas combinaciones pueden realizarse?

3C2 = 3! / (3 – 2)! 2! = 3! / 1! 2! = 6 / 2 = 3

Por lo tanto, el resultado se reduce a 3 posibles formas ya que en una combinación el orden de los elementos no es importante.

- Se tienen cinco obreros para un trabajo especial que requiere de tres de ellos. ¿De cuántas maneras...