Taller Cálculo Integral

Taller 2 1. Sean f y g funciones integrables tales que determinar el valor de (a) (b) (c)
9 3 −f (x)dx 9 3 4f (x)dx 9 3 (f (x) + g(x))dx 9 3 f (x)dx

= 8,

9 0 f (t)dt

= 10 e

9 3 g(x)dx

= −3,

(d) (e) (f)

9 3 (7f (x) − 4g(x))dx 2 3 2 8g(x)dx + 0 5f (x)dx 3 9 3f (x)dx

2. Probar las siguientes desigualdades:
7 (a) − 2 π ≤ π −π (sin(θ) 1 − 3 )dθ ≤ 2 π 4

(b) (c)

10 4 −4(x + x + 3)dx ≥ 0 1 π ≤ −1 (arctan(θ) + π)dθ

≤ 3π

3. Completar la siguiente tabla donde la funci´n F es una antiderivada de la funci´n f . o o f (x) 1 n (n ∈ Q, n = −1) x c (c es una constante real) (ax + b)n (n ∈ Q, n = −1) (ax + b)−1 ex +c cos(x) − cos(x) + c sec2 (x) sec(x) tan(x) − csc2 (x) − csc(x) cot(x) cos(3x) √ 1 , |x| < 1 1−x2 arccos(x) + c,
1 1+x2 1 − 1+x2

F (x) x+c

3x5 −4x3 + 6x2 − x + 7 + c

|x| < 1

√1 , x x2 −1

|x| < 1

1 x ln a

1

4. Una part´ ıcula se mueve en l´ ınea recta con velocidad inicial 3cm/s y aceleraci´n a(t) = o 5t2 − 4. En el segundo t = 2 de recorrido su distancia es de 10cm. Determinar la posici´n o de la part´ ıcula despues de 10 segundos de recorrido. 5. Se vierte agua en tanque vac´ de tal forma que el volumen de agua en eltanque crece ıo a raz´n de t2 − 1 (m3 /min). Si al minuto de empezar, el volumen de agua es 0.5m3 , o determinar la funci´n de volumen respecto al tiempo. o 6. El ´rea de una mancha de petr´leo en el mar aumenta cada segundo 3x3 − x − 2 m2 /s. Si a o en el segundo t = 3 el ´rea de la mancha era de 10m2 , hallar el area de la mancha en el a segundo t = 8. 7. Determinar una antiderivada de lassiguientes funciones: (a) f (x) = 3x3 − ex + 9 (b) r(x) = −3x−5 + 4x−2 − √ (c) g(x) = 3x − 8 (d) h(x) = sin(4x − 9) (e) g(x) = (f) f (x) =
3 − cos(x) 1+x2 sec2 (x) 7 x

(g) h(x) = sec(3x) tan(3x) − e8x−2 (h) m(x) =
−1 1+9x2

(i) g(x) = 1 − 16 csc2 (2x) √ 1 (j) f (x) = 3 x + √x 3 √ (k) h(x) = 8 x − 1 8. Hallar el valor promedio de las siguientes funciones (a) f (x) = 1 − x2 , en el intervalo [0, 1].(b) f (x) = − x , en el intervalo [0, 3]. 2 (c) f (x) = ex2 − 3, en el intervalo [0, 1]. (d) f (x) = (x − 1)2 , en el intervalo [0, 3]. (e) f (z) = z 2 − 1, en el intervalo [−2, 1]. √ (f) f (x) = 2x 49 − x2 en el intervalo [0, 7]. 9. Determine el valor de F (a) (a) F (x) = (b) F (x) = (c) F (x) =
x 2 2 (3t + 8t − 9)dt, x2 3 a= 0 sin (y)dy, x e 2 + 3t − 1)dt, −4 (t
2

a=3 π a=0

10. Apliqueel teorema del valor medio para integrales para demostrar las siguientes desigualdades: √ 2 9 1 a. 0 x21 dx ≤ 2 b. 2 ≤ 5 √x−1 dx ≤ 2. +1 2

11. Sea G(x) =

x 1 f (t)dt,

donde f es la funci´n cuya gr´fica es o a

(a) Evaluar g(1), g(3) y g(7). (b) ¿En cu´l intervalo es creciente g? a (c) Determinar el valor d´nde g toma el valor m´ximo. o a 12. El volumen de agua en un tanque es V cent´ımetros c´bicos cuando la profundidad de agua u es h metros. Si la tasa de variaci´n de V con respecto a h es π(4h2 + 10h − 3), determine o el volumen de agua en el tanque cuando la profundidad es de 3m. 13. Hallar
dy dx ,

para las siguientes funciones:
√ x cos tdt. 0 sin x 2 3t dt. 1 x4 √ udu. 0 tan x sec2 zdz. 0 x√ 1 + t2 dt. 0 x 1 1 t dt. 0 √ sin t2 dt. x sin x √ 1 dt. 0 1−t2 x2 +3 t dt x2 t2+1

(a) y = (b) y = (c) y = (d) y = (e) y = (f) y = (g) y = (h) y = (i) y =

14. Demuestre que si g es una funci´n diferenciable y n es un n´mero racional, entonces o u g n (x)g (x)dx = g n+1 (x) + C, n+1 n = −1.

15. Si m y n son enteros positivos, demostrar que
1 1

xm (1 − x)n dx =
0 0

xn (1 − x)m dx.

16. Determinar f (x) si f (x) = sin(x) y f (0) = 1, f (0) = 2.

3

17.Evaluar las siguientes integrales, usar una sustituci´n adecuada si es necesario. o √ 0 4 1 x4 1. −2 (2x + 5)dx 2. 0 (3x − 4 )dx 3. 0 (x2 + x)dx 3 π 1/2 arccos(x) 5 5. 0 sin xdx 6. 0 e√1−x2 dx 4. 0 (x 2 )dx 7. 10.
3π 4 π 4 π 4

csc θ cot θdθ tan x sec2 xdx

8. 11.

π 2

0

0 1+cos 2t dt 2 2 1 2 √ 1 ( x − 9x

9. + sin(x) − e8x )dx = 6, calcular 12.

1 √

u7 7 2 ( 3 + u3 )du π 6...