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RESOLVIENDO DESIGUALDADES CUADRÁTICAS

Para resolver desigualdades de la forma ax2 + bx + c >< 0, encontramos primero las raíces del término cuadrático y luego generamos una tabla de signos.
EJEMPLO A: Resolver x2 + 5x + 6 > 0 |
Las raíces del término cuadrático son –2 y –3. Con éstas se construye una tabla de signos.
Para obtener el signo de cada intervalo, basta con sustituircualquier número dentro del intervalo en el término cuadrático, y trasladar su signo a la tabla. Por ejemplo, para obtener el signo del intervalo ]–3, –2[ sustituimos cualquier número dentro de este intervalo, por ejemplo x = –2.5. Al sustituir, obtenemos: (–2.5)2 + 5(–2.5) + 6 = –0.25. Como el signo del resultado es negativo, trasladamos un signo negativo a la tabla.

Con la tabla como base,notamos que la desigualdad original exige escoger todos aquéllos intervalos con resultados mayores o iguales a cero (porque x2 + 5x + 6 > 0; nótese que se pide mayor o igual a cero). Por lo tanto, el conjunto solución sería: ]– , –3]  [–2, + [.
EJEMPLO B: Resolver –2x2 + 9x – 5 > 0 |
Las raíces del término cuadrático son 0.65 y 3.85. Con éstas se construye una tabla de signos.Desigualdades lineales y cuadráticas y sus propiedades
Es sorprendente la cantidad de propiedades que se pueden desprender de los primeros seis axiomas, sin embargo el álgebra de los números reales no queda reducida a dichos axiomas; éstos se complementan con un orden que nos permitirá, además de tener una estructura más completa, poder hacer analogías y aplicaciones más complejas que las que sepodrían tener con los axiomas de campo. Por ejemplo, se podrá construir un modelo para el movimiento, o también obtener el área y volumen de figuras geométricas no simples, análisis de variables que cambian continuamente con respecto al tiempo y muchas otras aplicaciones físicas.
La idea medular del orden en los números reales es que se pueden dividir los números en tres conjuntos, positivos, negativosy cero. Y que es posible establecer un orden total en los números reales. Estas ideas se pueden resumir en tres propiedades.
Axiomas de orden:
El conjunto de los números reales tiene un subconjunto, llamado conjunto de números reales positivos R+ el cual satisface los siguientes axiomas.
Axioma 1.7 a, b en R+ => a+b, ab en R+
Axioma 1.8 Si a está en R y a ≠ 0 entonces una de las doscondiciones de cumple a ∈ R+ o -a ∈ R+ .
Axioma 1.9 El número 0 no está en R+
Si un número no es positivo ni 0 se dice que es negativo, o sea que un número a es negativo si -a es positivo por el axioma 2.8.
Existe otra forma muy popular en nuestros días de presentar el orden en los números reales por medio de desigualdades directamente sin hacer mención a los axiomas, se toma a < b como unarelación entre dos números que satisface cuatro propiedades. Una de las ventajas de presentar el tema como se hace aquí es que bastan tres propiedades en lugar de cuatro, además cuando se usan desigualdades queda la relación < sin definir, incluso hay libros que lo definen en términos de números positivos así que se cae en una inconsistencia o en la necesidad de definir conjunto de númerospositivos. Por lo tanto por razones heurísticas es mejor considerar las propiedades de orden de esta manera.
Definición Desigualdad.
Si a, b son números reales decimos que a “es menor que” b y se representa a < b si b?·a es positivo. Similarmente, decimos que a “es mayor que b” y se representa a > b cuando b < a. La relación a < b significa que a < b ó a = b; y a > b significa que a> b ó a = b.
Vemos por lo tanto que un número es positivo si y sólo si es mayor que 0, y negativo si y sólo sí es menor que 0.
Nota Los axiomas se llaman de orden porque si consideramos la relación menor o igual en base a la definición anterior se obtiene una relación que cumple las condiciones de relación de orden. Incluso es un orden total.
De manera análoga como se vio después de los...