tareas

La lógica borrosa
y sus
aplicaciones
La Teoría de Conjuntos
Borrosos fue introducida por
mérito de la Universidad de
California en Berkeley) a mediados de
los años 60. Previamente, Max Black
(1909 - 1989), en un artículo de 1937
titulado "Vagueness: An exercise in
Logical Analysis" y Karl Menger (1902
- 1985) con los artículos de 1942
"Statistical Metrics" y los de los años
50 sobrerelaciones borrosas de
indistinguibilidad, sentaron las bases de
lo que hoy es una teoría tan utilizada y
con tan buenos resultados.
Bajo el concepto de Conjunto Borroso
(Fuzzy Set) reside la idea de que los
elementos clave en el pensamiento
humano no son números, sino etiquetas
lingüísticas. Estas etiquetas permiten
que los objetos pasen de pertenecer de
una clase a otra de forma suavey
flexible.
La Lógica Borrosa se puede inscribir
en el contexto de la Lógica
Multivaluada. En 1922 Lukasiewicz
cuestionaba la Lógica Clásica bivaluada
(valores cierto y falso). Además,
adelantaba una lógica de valores ciertos
en el intervalo unidad como
generalización de su lógica trivaluada.
En los años 30 fueron propuestas
lógicas multivaluadas para un número
cualquiera de valoresciertos (igual o
mayor que 2), identificados mediante
números racionales en el intervalo [0,
1].

Lotfi A. Zadeh (Azerbaiyán, 1921,
actualmente profesor e
Uno de los objetivos de la Lógica
Borrosa es proporcionar las bases del
razonamiento aproximado que utiliza
premisas imprecisas como instrumento
para formular el conocimiento.

¿Qué son los conjuntos
borrosos?.
En un conjuntoclásico (crisp) se
asigna el valor 0 ó 1 a cada elemento
para indicar la pertenencia o no a dicho
conjunto. Esta función puede
generalizarse de forma que los valores
asignados a los elementos del conjunto
caigan en un rango particular, y con
ello indiquen el grado de pertenencia
de los elementos al conjunto en
cuestión. Esta función se llama
“función de pertenencia” y el
conjunto por elladefinida “Conjunto
Borroso”. La función de pertenencia
µA por la que un conjunto borroso A se
define, siendo [0, 1] el intervalo de
números reales que incluye los
extremos, tiene la forma:
µA=X→[0, 1]
Es decir, mientras que en un conjunto
clásico los elementos pertenecen o no
pertenecen a él totalmente (por ejemplo
un número puede pertenecer o no al
conjunto de los pares, pero nopertenecerá con un determinado grado),
en los conjuntos

borrosos hay grados de pertenencia en
referencia a un universo local. Por
ejemplo en el contexto de nuestra
sociedad actual una persona de 45 años
pertenecerá al conjunto borroso “viejo”
con un grado supongamos de 0.5. Si en
vez de usar de referencia nuestra
sociedad actual aludimos a una
sociedad donde la esperanza de vida
fueran 40años este grado cambiaría.
A será un Subconjunto Borroso de B
cuando:
µA(x) ≤ µB(x), ∀x∈X
Originalmente la teoría de conjuntos
borrosos se formuló en base a un
conjunto de operadores también válidos
para conjuntos clásicos:
Negación:

µ¬A(x) = 1 - µA(x)

Unión:

µA∪B(x) = max [µA(x), µB(x)]

Intersección: µA∩B(x) = min [µA(x), µB(x)]

Posteriormente se han definido clases
defunciones con propiedades
axiomáticas adecuadas a la utilidad de
cada operador, principalmente las Tnormas y T-conormas, que sirven como
modelos de la intersección y la unión
respectivamente. El origen del uso de
las T-normas y T-conormas se remonta
a las consecuencias del artículo de
Menger de 1942 “Statistical Metrics”.
Para establecer la desigualdad
triangular (en un triángulo cualquiera,
lasuma de dos lados siempre es mayor
que el tercero), discípulos de Menger
establecieron y estudiaron el concepto
de norma triangular (T-norma) como
operación tipo para componer (sumar
probabilísticamente) los lados de un
triángulo que no “midan” un número,
sino una función de distribución de
probabilidad. Posteriormente se han
revelado como herramienta adecuada
para formalizar la...