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Cap´ ıtulo 11

El teorema de Green
El teorema de Green relaciona la integral de l´ ınea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva. Este tipo de teoremas resulta muy util porque, dados un cam´ po vectorial y una curva cerrada simple sobre la cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad m´s simple entre integrar el campodirectaa mente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre en recinto que delimita la curva. Por otro lado, la relaci´n o as´ establecida entre la integral de l´ ı ınea sobre una curva y la integral doble sobre la regi´n interior a ´sta permite a veces obtener informaci´n sobre o e o una funci´n o su integral en un recinto a partir del comportamiento de lao funci´n sobre la frontera de dicho recinto. Los ejemplos y ejercicios de este o cap´ ıtulo ilustrar´n las diversas posibilidades y aplicaciones de este tipo de a resultados, que generalizaremos a integrales sobre superficies en R3 en los siguientes cap´ ıtulos. Antes de enunciar el teorema de Green convendr´ precisar qu´ entenıa e demos por una curva cerrada simple orientada positivamente.Sabemos ya que toda curva simple tiene dos posibles orientaciones, y que ´stas son ine variantes por reparametrizaciones cuyas funciones de cambio de variables tiene derivada positiva. Ahora bien, ¿c´mo distinguir entre una y otra orio entaci´n? ¿Qu´ hacer para privilegiar y reconocer una de las dos? Hay varios o e procedimientos para conseguir esto. Quiz´ el m´s intuitivo sea el siguiente, a a quepresenta el concepto de normal unitaria exterior a una curva. Si C es una curva cerrada simple regular a trozos en R2 , parametrizada por γ(t) = (x(t), y(t)), el vector normal unitario exterior a C se define por N (t) = 1 x (t)2 + y (t)2 113 y (t), −x (t) .

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CAP´ ITULO 11. EL TEOREMA DE GREEN

N´tese que N es ortogonal al vector tangente o velocidad de la curva, V (t) = o (x (t), y (t)).Consideremos estos vectores sumergidos en R3 (con coordenada z = 0). Diremos que C est´ orientada positivamente si el producto vectorial a N × V (que tiene la direcci´n del eje z en este caso) tiene coordenada z o positiva (es decir, N × V apunta hacia arriba) para cada t. Esta definici´n o corresponde intuitivamente a decir que C se recorre en el sentido contrario al de las agujas del reloj, o bienque si recorremos C con la orientaci´n positiva o entonces N apunta hacia afuera de la regi´n interior a C, y que dicha regi´n o o interior queda siempre a mano izquierda seg´n se va recorriendo C. u Otra posibilidad para definir la orientaci´n de una curva cerrada simple o ser´ utilizar el n´mero de giros (the winding number); ver el problema 11.17. ıa u Diremos que una curva cerrada simple C ⊂R2 es regular a trozos si se puede parametrizar mediante un camino γ que a su vez puede escribirse como concatenaci´n γ1 ∗ ... ∗ γk de una cantidad finita de caminos γj : [aj , bj ] → R2 o cada uno de los cuales es de clase C 1 y satisface que γj (t) = 0 para todo t ∈ [aj , bj ] (en particular, γ podr´ dejar de ser diferenciable en una cantidad a finita de puntos, pero incluso en estos tendr´derivadas laterales). Para esta a clase de curvas cerradas simples enunciaremos y demostraremos el teorema de Green. Teorema 11.1 (de Green) Sea C una curva cerrada simple regular a trozos, positivamente orientada, en el plano R2 , y sea D la uni´n de la regi´n o o 2 un campo interior a C con la propia curva C. Sea F = (P, Q) : D −→ R vectorial de clase C 1 . Entonces se tiene que P dx + Qdy =
C D

∂Q∂P − dxdy. ∂x ∂y

Antes de dar una demostraci´n de este importante teorema, veamos alo gunos ejemplos y aplicaciones del mismo. Ejemplo 11.2 Integrar el campo F (x, y) = (x, xy) sobre la circunferencia x2 + y 2 = 1 recorrida en sentido positivo. Ejemplo 11.3 Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas F (x, y) = (y + 3x, 2y − x) al mover una part´ ıcula a lo largo de la elipse 4x2 +...