tareas

Elaborada por: Wilfredo Saravia M.
Universidad Nacional Autónoma de Honduras
Facultad de Ciencias Económicas

Guía de Ejercicios No. 1
DET – 385, Métodos Cuantitativos III
PARTE 1: Propiedades de límites:
No.

Teorema

Forma de reconocerlo

1

Lím
C =C
x→a

Límite de una constante

2

Lím
x=a
x→a

Límite de la función identidad

3

Lím
(mx + b) = ma + b
x→aLímite de una función lineal

4

P ( x) = Pn (a)
Lím
x→a n

5

Lím
[ f ( x) + g ( x)] = Lím f ( x) + Lím g ( x)
x→a
x→a
x→a

Límite de la suma de dos funciones

6

Lím
[ f ( x) − g ( x)] = Lím
x→a
x→a

Límite de la resta de dos funciones

7

Lím
f ( x) g ( x) = Lím f ( x) Lím g ( x)
x→a
x→a
x→a

8

Lím
x→a

9

Lím
[ f ( x)] n = ⎢ Lím f ( x) ⎥
x→a

10

f( x)
=
g ( x)

n f ( x )]
Lím
x→a

Pn ( x) es un polinomio

Límite de un polinomio

en x de grado n

f ( x) − Lím g ( x)
x→a

Límite del producto de dos funciones

Lím
f ( x)
x→a

Límite del cociente de dos funciones

Lím
g ( x)
x→a
⎡

⎤

⎣ x→a

⎦

=n

n

Límite de la n–ésima potencia de una
función
Límite de la raíz n–ésima de una función

Lím f ( x)x→a

Ejemplo ilustrativo 1: Evalúe Lím

x → −1

Lím 3
x → −1

3

− 5x2 + 4 x + 1
2 x3 + 8 x 2 − 6 x + 15
− 5x2 + 4 x + 1
=3
2 x3 + 8 x 2 − 6 x + 15
=3

Lím
x → −1

− 5x2 + 4 x + 1
2 x3 + 8 x 2 − 6 x + 15

Lím ( − 5 x 2 + 4 x + 1 )

x → −1

Lím ( 2 x3 + 8 x 2 − 6 x + 15 )

x → −1

=3

− 5(−1) 2 + 4(−1) + 1
2(−1)3 + 8(−1)2 − 6(−1) + 15

=3

−8
−2
2
=
=−27
3
3

Elaborada por: Wilfredo Saravia M.

En donde se aplicaron en forma sucesiva el límite de la raíz n–ésima de una función, el límite del
cociente de dos funciones y el límite de un polinomio, para, posteriormente calcular y simplificar.
Ejemplo ilustrativo 2: Evalúe

Lím

x→−3

Lím
x→−3

x2 − 9
x+3
( x + 3) ( x − 3)
x2 − 9
= Lím
= Lím ( x − 3) = − 3 − 3 = − 6
x→−3x→−3
x+3
x+3

Debido a que al sustituir directamente se obtenía la forma indeterminada

0

, fue necesario factorizar y

0

simplificar puesto que x + 3 ≠ 0 si x ≠ – 3. Luego se aplicó el límite de una función lineal.
Ejemplo ilustrativo 3: Evalúe Lím

∆x → 0

Lím
∆x → 0

4 + ∆x − 2
∆x
4 + ∆x − 2
= Lím
∆x → 0
∆x
=
=

Lím
∆x → 0
Lím

∆x → 0

=

4 + ∆x − 2
⋅
∆x

(∆x
∆x

4 + ∆x

(
(

)

2

4 + ∆x + 2
4 + ∆x + 2

− 22

4 + ∆x + 2
∆x
4 + ∆x + 2

1
=
4+0 +2

)

=

)

=

1
4 +2

=

Lím
∆x → 0

( 4 + ∆x ) − 4
∆x

Lím

∆x → 0

(

4 + ∆x + 2

)

1
4 + ∆x + 2

1
1
=
2+2
4

También en este ejemplo, al sustituir directamente se obtenía la forma indeterminada

0

por lo que

0

fue necesarioracionalizar el numerador y simplificar ya que ∆x ≠ 0. Luego se aplicó en forma sucesiva: El límite del cociente de dos funciones, límite de la suma de dos funciones, el límite de la raíz
n–ésima y de una función lineal.
EJERCICIOS: En los ejercicios del 1 al 17 halle el valor del límite, y según sea el caso indique los
teoremas de límites que utilizó.

1)

Lím
( x 2 − 5 x + 9)
x→3

2
4) Lím x+ 2 x − 9
x → −1

2x − 4

2
7) Lím 3 2r 2 − 3r + 7
r→4

r −r−4

2)

Lím (3w3 + 7 w2 − 5w − 4)
w→−2

5) Lím
t→ 1

t +8
6t − 2

3
8) Lím s − 64
s→4

s−4

–2–

3)

Lím
z →1

6) Lím
x→2

z2 − 4
z2 + 4
x3 + 1
x 2 + 3x + 6

2
9) Lím s − 1
s → −1

s +1

Elaborada por: Wilfredo Saravia M.
2
11) Lím 2 x 2 − 13 x + 15

2
10) Lím x2 − x − 12

x3 − 2 x2 + x − 2
x2 + x − 6

14) Lím

2−

17) Lím

13) Lím
x→2

16) Lím

x→5

x + 5x + 6

x→−3

x →1

x+3
x −1

∆x → 0

x3 − 729

x→9

x

(

x→−2

15) Lím

2 x 2 + 3x + 1
2 x3 − 5 x 2 + x + 2
3

t→ 0

AYUDA: Racionalice el denominador.

8 + ∆x − 3 8
∆x
2

AYUDA: Racionalice el numerador.

18) Lím

3 x − 14 x − 5

1
x→−
2

x − 3

x2...