Tarski-banach

La Paradoja de Banach-Tarski
Carlos Ivorra
(http://www.uv.es/=ivorra)

El prop´sito de estas p´ginas es demostrar el siguiente teorema: o a Paradoja de Banach-Tarski Es posible dividir una esfera (llena) de radio 1 en ocho partes disjuntas dos a dos, de modo que, aplicando movimientos oportunos a cinco de ellas, obtengamos nuevos conjuntos que constituyan una partici´n de una esfera (llena) ode radio 1, y lo mismo ocurra con las tres partes restantes. En otras palabras, es posible fabricar un puzzle de ocho piezas que, combinadas de una determinada manera, formen una esfera llena (sin agujeros) y, combinadas de otra manera, formen dos esferas llenas (sin agujeros) del mismo radio, tal y como ilustra la figura:

Se puede demostrar que el n´mero total de partes necesario puedereducirse a cinco u (y que con cuatro es imposible). Quiz´ sea conveniente advertir que, a pesar de su nombre, este resultado es un teorema a matem´tico como cualquier otro, no una falacia cuya prueba contenga alguna clase de a error. Desde un punto de vista f´ ısico, la construcci´n de tales piezas es imposible porque o el concepto geom´trico de punto no tiene realidad f´ e ısica. (Por ejemplo, veremosque una de las ocho piezas consta unicamente de un punto.) ´ 1

Desde un punto de vista matem´tico, parece que la paradoja de Banach-Tarski pueda a refutarse bas´ndose en el hecho de que las dos esferas finales tienen el doble de volumen a que la esfera inicial. Sin embargo, lo que prueba la paradoja es que no es posible definir el volumen de cualquier conjunto de puntos: los trozos en que sedescompone la esfera no tienen volumen (t´cnicamente, son conjuntos no medibles Lebesgue), por lo que no es e posible apelar al hecho de que los movimientos conservan el volumen. (Los movimientos s´lo conservan el volumen de los conjuntos que tienen volumen.) o La demostraci´n de la paradoja se basa en las propiedades de los giros de R3 . En lo o sucesivo, por giro entenderemos un giro en R3 respectoa un eje que pasa por el origen, pues no vamos a necesitar otro tipo de giros. En la pr´ctica s´lo vamos a necesitar la a o siguiente caracterizaci´n operativa de los giros: o Una aplicaci´n lineal φ : R3 −→ R3 (determinada por una matriz A de dio mensi´n 3 × 3) es un giro si y s´lo si φ es una isometr´a de determinante 1, o o ı es decir, si y s´lo si la matriz A es regular, cumple AAt = I y |A|= 1. o A partir de esta caracterizaci´n es inmediato que la composici´n de dos giros vuelve o o a ser un giro y que la aplicaci´n inversa de un giro es otro giro. Admitiremos tambi´n o e como giro (por definici´n) a la aplicaci´n identidad, de modo que el conjunto de todos los o o giros resulta ser un grupo con la composici´n de aplicaciones. o Fijemos un n´mero real ω y consideremos las matrices u− cos ω 0 sen ω  0 −1 0 , Φ=  sen ω 0 cos ω
 

√  −1/2 3/2 0  √  Ψ =  − 3/2 −1/2 0  . 0 0 1


Una comprobaci´n rutinaria muestra que Φ y Ψ son las matrices de sendos giros (es o decir, que cumplen que ΦΦt = ΨΨt = I y que |Φ| = |Ψ| = 1), as´ como que Φ2 = Ψ3 = I. ı Nota La relaci´n Φ2 = I se interpreta como que Φ es un giro de π radianes e, igualmente, o 3 Ψ = I significa que Ψ esun giro de 2π/3 radianes. Llamando w = (sen(ω/2), 0, cos(ω/2)), es f´cil ver que wΦ = w, lo que se interpreta como que el vector w apunta en la direcci´n a o del eje de giro. As´ pues, Φ es un giro de π radianes cuyo eje es la recta del plano XZ ı que forma un angulo ω/2 respecto del eje Z. Respecto a Ψ, es f´cil ver que su eje de giro ´ a es el eje Z. No vamos a necesitar estos hechos. Elcoraz´n de la paradoja de Banach-Tarski es el siguiente teorema, debido a Hausdorff. o La prueba es puro c´lculo, pero transparente: a Sea ω un n´mero real tal que cos ω sea un n´mero trascendente, es decir, que u u no sea ra´z de ning´n polinomio con coeficientes racionales. Sean σ1 , . . . , σn ı u matrices de la forma σi = Φ, σi = Ψ o σi = Ψ2 , pero tales que no haya dos consecutivas con las misma...