Tecnicas de conteo

1.2 PRINCIPIOS DE CONTEO (ADITIVO Y MULTIPLICATIVO)

En probabilidad se intenta tomar decisiones adecuadas conforme a previas informaciones, esas experiencias previas documentadas son el resultado de experimentos en múltiples repeticiones cuyos resultados son analizados y en donde la aleatoriedad juega un papel principal.

Al conjunto de posibles resultados en un experimento se ledenomina espacio muestral, y a cada uno de los resultados posibles punto muestral.
En muchos casos el número de puntos muestrales en un espacio muestral no es muy grande, de manera que no es difícil la enumeración directa o el conteo de los puntos muestrales necesario para obtener las probabilidades. Sin embargo, los problemas surgen donde el conteo directo se vuelve una imposibilidad práctica. Entales casos, se hace uso del análisis combinatorio, el cual se puede también denominar una manera sofisticada de contar.

Conteo de puntos muestrales
Uno de los problemas que los estadísticos deben considerar e intentar evaluar, es el elemento de aleatoriedad que se asocia con la ocurrencia de ciertos eventos cuando se lleva a cabo un experimento. Estos problemas pertenecen al campo de laprobabilidad. En muchos casos debe tenerse la capacidad de resolver un problema de probabilidad mediante el conteo del número de puntos en el espacio muestral sin realmente anotar cada uno de sus elementos. Frecuentemente se hace referencia al principio fundamental del conteo llamado también regla de la multiplicación|
Teorema 1.1
Si una operación puede realizarse en n1 formas, y si por cada una deéstas una segunda operación puede llevarse a cabo en n2 formas, entonces las dos operaciones pueden realizarse juntas en nl n2 formas.
Ejemplo 1
¿Cuántos puntos muestrales hay en un espacio muestral cuando se lanza un par de dados una sola vez?

Solución El primer dado puede caer en cualquiera de n1 == 6 formas. Para cada una de éstas el segundo dado puede, también, caeren n2 = 6 formas. Por lo tanto el par de dados puede caer en
n1n2 = (6)(6) = 36 formas posibles.
Ejemplo 2
Un urbanista de una nueva subdivisión ofrece a los interesados en la compra de una casa la posibilidad de seleccionar el estilo de la fachada entre Tudor, rústico, colonial y tradicional, y una sola planta, dos pisos o desniveles ¿De cuántas manerasdiferentes puede un comprador ordenar una de estas casas?
Solución Dado que n1= 4 y n2 = 3, un comprador puede escoger entre
n1n2 = (4)(3) = 12 casas posibles.

Se pueden verificar las respuestas a los dos ejemplos anteriores si se dibujan diagramas de árbol y se cuentan las diversas trayectorias a lo largo de las ramas. En el caso delejemplo 2 donde habrá n1= 4 ramas correspondientes a los diferentes estilos de fachada, y n2 = 3 ramas que parten de cada una de las primeras 4, y representan los 3 distintos planes en cuanto a pisos. Este diagrama de árbol produce las n1 n 2= 12 selecciones de casas que se obtienen por las trayectorias a lo largo de las ramas.
Es posible ampliar la regla de multiplicación del teorema 1.1para incluir cualquier número de operaciones. Supóngase, por ejemplo, que un cliente desea instalar un teléfono Trimline y que puede seleccionar cualquiera de n1 = 10 colores diferentes, los que están disponibles en cualquiera de longitudes opcionales de cordón con n2, = 2 tipos de marcaje rotatorio o de teclado. Estas tres clasificaciones resultan en

n1n2 n3= (10)(3)(2) = 60formas diferentes en que un cliente puede ordenar uno de estos teléfonos. La regla de multiplicación generalizada abarca k operaciones, tal como lo establece el siguiente teorema.

Teorema 1.2
Si una operación puede realizarse en nl formas, y si para cada una de éste efectuarse una segunda en n2 formas, y para cada una de las dos primeras puede efectuar una tercera en n3 formas, y...