Tecnologico

Valor Absoluto y sus Propiedades
Definición. Valor absoluto. El valor absoluto de un número real x se representa por |x| y se define por
$ .El valor absoluto es muy importante en cálculo porquenos ayuda a representar desigualdades y conjuntos de números, uno de los principales usos es el poder formalizar el concepto de límite.
Teorema
i) $
ii) $ \ $}
iii) $
iv) $ <=› \hspace10} -a< x < a $}
v) {$ <=> \hspace{10} -a > x \hspace{5} o \hspace{5} x > a $}
La última propiedad se acostumbra escribir
v) $ <=> \hspace{10} x < -a \hspace{5} o \hspace{5}x > a $}
pero la escribimos de la otra forma para que sea más fácil de recordar, pero hay que tener en cuenta que el caso (iv) es una desigualdad doble y por lo tanto una intersección entre lasdos desigualdades simples y en (v) aparecen dos desigualdades con la disyunción y por lo tanto es una unión. Observando la definición debemos recordar que ?x representa el inverso aditivo de x y nonecesariamente es un número negativo.
Ejemplo Resolver la ecuación |5x+1| = 4
Solución.
5x+1 = 4 ó 5x+1 = −4, por lo que
x = 1 ó x = −3/5, una sustitución directa nos indica que elconjunto solución es S = {−3/5, 1}.

Es conveniente enunciar en este punto las principales propiedades de valor absoluto, sobretodo porque serán muy útiles para la solución de desigualdadesTeorema Propiedades de valor absoluto (i) |x| › 0 (ii) |x| = 0 <=› x=0 (iii) |ab| = |a| |b| (iv) |a/b| = |a|/|b| (v) |a+b| ‹ |a| + |b| (vi) |x| < a <=› ?a < x < a (vii) |x| › a <=>?a>x o x > a
Ejemplo Resolver |2x-1| < 7
Solución.
Vemos que |2x-1| < 7 es equivalente a
-7 < 2x-1 < 7, y también a
-6 < 2x < 8
-3 < x < 4 Por lo que lasolución es el intervalo (−3,4), el supremo es 4, el ínfimo es −3 y no tiene ni máximo ni mínimo.
Resolver |3x+5| › 4
Solución.
Por la propiedad (vii) del teorema anterior la desigualdad es...